TS według Quast i Quast zmodyfikowane

Lokalne rozszerzenie o usztywnienie przy rozciąganiu (anizotropowe)

Przy zastosowaniu modelu uszkodzenia betonu usztywnienie przy rozciąganiu jest odwzorowywane za pomocą lokalnego anizotropowego rozszerzenia o usztywnienie przy rozciąganiu [4]. Procedura ta zastępuje w przypadku anizotropowego modelu uszkodzenia dotychczasowe, globalnie działające podejście: zamiast jednorazowo opisywać strefę rozciągania przekroju za pomocą krzywej naprężenie-odkształcenie obowiązującej dla całego przekroju, w każdym punkcie całkowania betonu nakłada na podstawową odpowiedź materiałową betonu naprężenie rozciągające wynikające z zbrojenia. Korekta jest obliczana lokalnie (w każdym punkcie całkowania) oraz anizotropowo (oddzielnie w obu kierunkach głównych odkształceń); kąt między kierunkiem zbrojenia a odpowiednim głównym kierunkiem rozciągania jest przy tym jawnie uwzględniany.

Współczynnik aktywacji

W każdym punkcie całkowania betonu wyznaczane są odkształcenia główne ε₁, ε₂ oraz odpowiadający im kąt głównego odkształcenia θ_p; dla usztywnienia przy rozciąganiu istotne są tylko kierunki rozciągania (ε_k > 0). Każda warstwa zbrojenia j wnosi wkład do współczynnika aktywacji α_k kierunku głównego k za pośrednictwem trzech mnożników cząstkowych:

• g_j (współczynnik nośności): maleje wraz ze wzrostem odkształcenia zbrojenia i przy osiągnięciu odkształcenia odpowiadającego granicy plastyczności zbrojenia przyjmuje wartość zero.
• a_j,k (współczynnik kątowy): w przypadku anizotropowego modelu uszkodzenia wynosi 1 przy równoległym, a 0 przy prostopadłym ustawieniu zbrojenia względem głównego kierunku rozciągania, dla odpowiednio drugiego kierunku głównego – wartość komplementarna. W przypadku izotropowego modelu uszkodzenia obowiązuje inne obliczenie bez tworzenia wartości komplementarnej, które dostarcza dla obu kierunków głównych tę samą wartość i przy dokładnie 90° przy rozciąganiu dwuosiowym może być jeszcze różna od zera; zobacz powyższy baner „Zakres obowiązywania według modelu materiałowego".
• p_j (współczynnik położenia): 1 wewnątrz strefy otuliny betonowej rozpatrywanej warstwy zbrojenia, na zewnątrz malejący (zgodność odkształceń między betonem a zbrojeniem).

Usztywnienie przy rozciąganiu | Współczynnik aktywacji: pojemność, kąt i pozycja

Wkłady wszystkich warstw zbrojenia są łączone za pomocą wygładzonego agregatora normy p i ograniczane do przedziału [0, 1]:

Krzywa naprężeń docelowych: dwie warianty

Naprężenie docelowe w kierunku głównym k wynosi:

Do wyboru są dwa warianty leżącej u podstaw krzywej naprężeń docelowych σ̂(ε), które bazują na dwóch poniższych podrozdziałach:

Uwagi dotyczące istniejących modeli

Quast

Model ten do uwzględniania współpracy betonu przy rozciąganiu między rysami opiera się na zdefiniowanej krzywej naprężenie-odkształcenie betonu w zakresie rozciągania (wykres paraboliczno-prostokątny).

Podstawowe założenia podejścia Quasta można podsumować następująco:

• Pełna współpraca betonu przy rozciąganiu do osiągnięcia odkształcenia rysowania ε_cr odpowiednio obliczeniowej wytrzymałości betonu na rozciąganie f_ct,R.
• Zredukowane usztywniające współdziałanie betonu w strefie rozciągania zgodnie z istniejącym odkształceniem betonu.
• Brak uwzględnienia usztywnienia przy rozciąganiu (tension stiffening) po wystąpieniu uplastycznienia decydującego pręta zbrojeniowego.

Podsumowując oznacza to, że obliczeniowa wytrzymałość na rozciąganie f_ct,R nie jest wielkością stałą, lecz odnosi się do istniejącego odkształcenia w decydującym włóknie stalowym (rozciąganym). Maksymalna wytrzymałość na rozciąganie f_ct,R maleje od zdefiniowanego odkształcenia rysowania ε_cr do osiągnięcia odkształcenia odpowiadającego granicy plastyczności stali zbrojeniowej w decydującym włóknie stalowym liniowo do zera. Osiąga się to za pomocą pokazanej na poniższym obrazku krzywej naprężenie-odkształcenie w zakresie rozciągania betonu (wykres paraboliczno-prostokątny) oraz wyznaczenia współczynnika redukcji VMB (usztywniające współdziałanie betonu).

Krzywa naprężenie-odkształcenie betonu w strefie rozciągania ze współczynnikiem redukcyjnym VMB = 0,4

Na następnym obrazku schematycznie przedstawiono stany naprężeń dla rosnącego obciążenia z usztywnieniem przy rozciąganiu.

Stan naprężenia dla rosnącego obciążenia ze sztywnieniem przy rozciąganiu

Krzywą naprężenie-odkształcenie w zakresie rozciągania można opisać następującymi równaniami:

• Wypukłość paraboli w pierwszym odcinku może być sterowana wykładnikiem n_PR.
• Wykładnik powinien być tak dobrany, aby przejście z zakresu ściskania do zakresu rozciągania następowało możliwie przy tym samym module sprężystości.

Do wyznaczenia współczynnika redukcji VMB stosowane jest odkształcenie w najbardziej rozciąganym włóknie stalowym. Położenie punktu odniesienia zilustrowano na poniższej grafice.

Określanie wytrzymałości resztkowej na rozciąganie dla usztywnienia rozciągającego zgodnie z Quastem

Współczynnik redukcji VMB maleje ze wzrostem odkształcenia stali. Na wykresie dla współczynnika VMB (zobacz obrazek poniżej) widać, że współczynnik VMB zostaje dokładnie w momencie rozpoczęcia uplastycznienia zbrojenia zredukowany do zera.

Współczynnik VMB – Ujęcie sztywności na rozciąganie wg Quasta

Przebieg współczynnika redukcji VMB w stanie II (ε > ε_cr) może być sterowany wykładnikiem n_VMB.

• Wartości doświadczalne według Pfeiffera [2] to n_VMB = 1 (liniowo) do n_VMB = 2 (parabola) dla elementów obciążonych zginaniem.
• Quast [3] stosuje w swoim modelu wykładnik n_VMB = 1 (liniowo) i osiąga tym dobre zgodności przy ponownych obliczeniach prób słupów.
• Według Pfeiffera [2] za pomocą n_VMB = 2 można odwzorować czyste próby rozciągania z akceptowalną zgodnością.

Przyjęcie wykresu paraboliczno-prostokątnego dla spękanego zbrojenia strefy rozciągania betonu należy traktować jako pomoc obliczeniową. Na pierwszy rzut oka istnieją duże różnice w stosunku do eksperymentalnie wyznaczonych krzywych naprężenie-odkształcenie po stronie rozciągania czystego betonu.

Początki uplastycznienia według Quasta: porównanie modelu i testu laboratoryjnego

Przy analizie istniejących naprężeń w zginanym przekroju żelbetowym okazuje się, że wykres paraboliczno-prostokątny jest zdecydowanie lepiej zdolny do opisu odkształceń i naprężeń w ujęciu średnim. W belce zginanej między dwiema rysami tworzy się bryła betonu. Działa ona jak rodzaj tarczy, do której przez zbrojenie stopniowo ponownie wprowadzane są siły rozciągające. Wskutek tego powstaje bardzo nieregularny przebieg naprężenia i odkształcenia. W ujęciu średnim można jednak utworzyć płaszczyznę odkształceń z paraboliczno-prostokątnym przebiegiem, za pomocą której można uchwycić średnią krzywiznę.

Istniejący stan naprężenia dla betonu zbrojonego przy zginaniu

Dla modelu Quasta zaproponowano przyjmowane wartości obliczeniowe następująco:

• dla wytrzymałości na rozciąganie f_ct,R

• dla odkształcenia rysowania ε_cr,R

Wartość obliczeniowa wytrzymałości na rozciąganie f_ct,R jest zatem mniejsza niż wytyczne Eurokodu. Uzasadnione jest to opisaniem linii pracy oraz wyznaczeniem współczynnika redukcji VMB, przy którym przyjęte naprężenie rozciągające i wynikająca z niego siła rozciągająca po przekroczeniu odkształcenia rozciągającego są redukowane tylko powoli. Przy odkształceniu 2 ⋅ ε_cr nadal działa naprężenie rozciągające około 0.95 ⋅ f_ct,R. Dzięki temu przy zginaniu można dobrze przewidzieć redukcję sztywności. Przy czystym rozciąganiu podane powyżej wartości f_ct,R są zbyt małe. W tym przypadku należy według Pfeiffera [2] przyjąć wartości z EC 2 jako wartość obliczeniową wytrzymałości na rozciąganie. Wartości zalecane przez Quasta [3] dla f_ct,R = 1/20 ⋅ f_cm można osiągnąć przyjmując 60% wytrzymałości na rozciąganie podanych w EC 2. Przy przyjęciu f_ct,R = 0.6 ⋅ fctm z jednej strony zbytnio wcześnie przewiduje się pęknięcie przekroju. Z drugiej jednak strony uwzględnione jest w ten sposób już zredukowanie wytrzymałości na rozciąganie przy obciążeniu stałym (ok. 70%) lub przy czasowo wyższym obciążeniu (np. krótkotrwałe przyłożenie rzadkiej kombinacji oddziaływań), prowadzące do uszkodzonej strefy rozciągania. Poszczególne wartości obliczeniowe dla strefy rozciągania betonu można opisać następująco:

Zmodyfikowane podejście według Quasta

Zmodyfikowane podejście według Quasta stosuje tę samą definicję obliczeniowej wytrzymałości na rozciąganie f_ct,R i odkształcenia rysowania ε_cr,R jak podejście według Quasta (zobacz poprzedni rozdział). Różnica polega na sposobie zastosowania do naprężenia betonu, a nie na samej krzywej docelowej:

• W podejściu według Quasta naprężenie betonu w strefie rozciągania jest bezpośrednio ustawiane na wartość krzywej docelowej (σ_c = σ̂(ε), zobacz krzywą docelową w rozdziale „Quast"); może to w porównaniu z naprężeniem niemodyfikowanego podstawowego modelu materiałowego oznaczać zarówno zwiększenie, jak i redukcję.
• W podejściu zmodyfikowanym krzywa docelowa jest zamiast tego czysto addytywnie nakładana na naprężenie betonu σ_c,Basis(ε) dostarczone przez podstawowy model materiałowy (np. model uszkodzenia).

Naprężenie betonu może więc być przez usztywnienie przy rozciąganiu tylko zwiększane, nigdy redukowane. To postępowanie addytywne jest numerycznie odporniejsze niż wariant narzucający według Quasta, ponieważ nie prowadzi do nagłego skoku sztywności, gdy naprężenie materiału podstawowego już przekracza krzywą docelową.