2026-08-11

VE0096 | Продольный изгиб по Эйлеру

Описание

Стойка с круглым поперечным сечением закреплена в соответствии с четырьмя основными случаями потери устойчивости по Эйлеру и нагружена сжимающей силой P в соответствии со следующим рисунком. Определите критическую нагрузку P_cr. Задача описывается следующими параметрами.

Материал	Сталь	Модуль упругости	E	210000.000	МПа
Материал	Сталь	Коэффициент Пуассона	ν	0.300	-
Геометрия	Стойка	Длина	L	2.000	м
Геометрия	Стойка	Диаметр	d	30.000	мм
Нагрузка	Сила	Сила	P	10.000	кН

Потеря устойчивости по Эйлеру

Аналитическое решение

Основное дифференциальное уравнение для всех случаев потери устойчивости выглядит следующим образом:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} y = - \frac{M}{E I},

y	Координата в направлении потери устойчивости
M	Изгибающий момент, относящийся к сечению
I	Момент инерции

Основное дифференциальное уравнение потери устойчивости

Случай потери устойчивости 1

Стойка защемлена на одном конце и свободна на другом. Основное уравнение можно переписать в виде:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} y = - \frac{P}{E I} (δ - y)

δ	Максимальное боковое отклонение вершины сжатой диагонали

Управляющее уравнение для случая 1 (защемление-свободный конец)

Используя подстановку

α = \sqrt{\frac{P}{E I}}

Замена

решение приведенного выше уравнения записывается как

y = C_{1} \cos (α x) + C_{2} \sin (α x) + δ

Общее решение y для случая 1

Постоянные интегрирования C₁ и C₂ можно получить из следующих граничных условий

y (0) = 0

\frac{d}{d x} y (0) = 0

Граничные условия для случая 1

Результирующий прогиб тогда записывается как

y = δ (1 - \cos (α x)))

Результирующий прогиб y для Случая 1

Для ненулевого δ и для вершины стойки должно выполняться следующее условие

\cos (α L) = 0 \Rightarrow α L = k \frac{π}{2}, k = 1, 3, 5, . . .

Условие для случая 1

Минимальное значение соответствует k = 1, и тогда критическая сила P_cr путем подстановки в соотношение для α равна

P_{c r} = \frac{π^{2} E I}{4 L^{2}} \approx 5.151 kN

Критическая сила для случая 1

Случай потери устойчивости 2

Стойка опирается посредством шарнирных соединений, одно из которых, кроме того, является скользящим. Основное уравнение записывается как

\frac{d^{2}}{d x^{2}} y = - \frac{P}{E I} y

Определяющее уравнение для Случая 2 (закреплённо-закреплённое скольжение)

решение этого дифференциального уравнения имеет вид

y = C_{1} \cos (α x) + C_{2} \sin (α x)

Общее решение для случая 2

Постоянные интегрирования C₁ и C₂ можно получить из следующих граничных условий

y (0) = 0,

y (L) = 0

Граничные условия для случая 2

Из граничных условий следует

C_{2} \sin (α L) = 0

Условие для варианта 2

Для ненулевой постоянной C₂ можно записать

\sin (α L) = 0 \Rightarrow α L = k π, k = 1, 2, 3, . . .

Условие для случая 2

Минимальное значение соответствует k = 1, и тогда критическая сила P_cr равна

P_{c r} = \frac{π^{2} E I}{L^{2}} \approx 20.602 k N

Критическая сила для случая 2

Случай потери устойчивости 3

Стойка защемлена на одном конце и опирается посредством скользящего шарнирного соединения на другом. Основное уравнение можно переписать следующим образом

\frac{d^{2}}{d x^{2}} y = - \frac{P}{E I} (y - \frac{H}{P} (L - x))

"Управляющее уравнение для случая 3 (неподвижно-скользящий шарнир)"

где H - горизонтальная реакция в шарнирном соединении. Решение этого дифференциального уравнения записывается как

y = C_{1} \cos (α x) + C_{2} \sin (α x) + \frac{H}{P} (L - x)

Общее решение для случая 3

Постоянные интегрирования C₁ и C₂ можно получить из тех же граничных условий, что и в Случае 1. Результирующий прогиб тогда равен

y = \frac{H}{P} (\frac{1}{α} \sin (α x) - L \cos (α x) + (L - x))

Результирующий прогиб для случая 3

Это уравнение также должно удовлетворять граничному условию для второго конца стойки, после подстановки

0 = \frac{H}{P} (\frac{1}{α} \sin (α L) - L \cos (α L))

Граничное условие замещения для Случая 3

Для ненулевой горизонтальной реакции H должно выполняться следующее уравнение

\tan (α L) = α L

Трансцендентальное условие

Это трансцендентное уравнение можно решить численно или графически, с приближенным решением

P_{c r} \approx 42.147 kN

Критическая сила для Случая 3

Случай потери устойчивости 4

Стойка защемлена на обоих концах, и один конец является скользящим. Основное уравнение принимает вид

\frac{d^{2}}{d x^{2}} y = - \frac{P}{E I} (y - \frac{M_{1}}{P})

M₁	Осевой момент реакции в неподвижной опоре

Управляющее уравнение для случая 4 (защемление-защемление со скольжением)

где M₁ - реактивный момент в защемлении. Решение этого дифференциального уравнения записывается как

y = C_{1} \cos (α x) + C_{2} \sin (α x) + \frac{M_{1}}{P}

Общее решение для случая 4

Постоянные интегрирования C₁ и C₂ можно получить из граничных условий Случая 1. Общее решение тогда записывается как

y = \frac{M_{1}}{P} (1 - \cos (α x))

Общее решение (упрощенное) для случая 4

Это уравнение также должно удовлетворять граничному условию для второго конца стойки, после подстановки

0 = \frac{M_{1}}{P} (1 - \cos (α L))

Замена граничного условия для случая 4

Для ненулевого реактивного момента M₁ следующее уравнение

\cos (α L) = 1 \Rightarrow α L = 2 k π, k = 1, 2, 3, . . .

Условие для случая 4

дает минимальное значение для k = 1, и критическая сила P_cr равна

P_{c r} = \frac{4 π^{2} E I}{L^{2}} \approx 82.409 kN

Критическая сила для варианта 4

Настройки RFEM и RSTAB

Моделирование выполнено в RFEM 6.13, RSTAB 9.12 и RFEM 5.16 и RSTAB 8.16
Размер элемента l_FE = 0.1 м
Используется изотропный линейно-упругий материал
Для анализа собственных значений используется метод Ланцоша

Результаты

Случай потери устойчивости	Аналитическое решение P_cr [кН]	RFEM 6 P_cr [кН]	Отношение [-]	RSTAB 9 P_cr [кН]	Отношение [-]	RFEM 5 – RF-STABILITY P_cr [кН]	Отношение [-]	RSTAB 8 – RSBUCK P_cr [кН]	Отношение [-]
Случай 1	5.151	5.150	1.000	5.150	1.000	5.150	1.000	5.153	1.000
Случай 2	20.602	20.594	1.000	20.594	1.000	20.596	1.000	20.749	1.007
Случай 3	42.147	42.109	0.999	42.109	0.999	42.107	0.999	43.190	1.025
Случай 4	82.409	82.289	0.999	82.285	0.998	82.270	0.998	83.324	1.011

Результаты в RFEM / RSTAB - Первая собственная форма

10x

Проверочный пример 0096 | 1

;