Description
Une barre de section circulaire est maintenue selon les quatre cas fondamentaux de flambement d'Euler et est soumise à une force de compression P selon la figure suivante. Déterminer la charge critique Pcr. Le problème est décrit par les paramètres suivants.
| Matériau | Acier | Module d'élasticité | E | 210000,000 | MPa |
| Coefficient de Poisson | ν | 0,300 | - | ||
| Géométrie | Barre | Longueur | L | 2,000 | m |
| Diamètre | d | 30,000 | mm | ||
| Charge | Force | Force | P | 10,000 | kN |
Solution analytique
L'équation différentielle gouvernante pour tous les cas de flambement est la suivante :
|
y |
Coordonnée dans la direction de flambement |
|
M |
Moment de flexion lié à la section |
|
I |
Moment d’inertie |
Cas de flambement 1
La barre est encastrée à une extrémité et libre à l'autre. L'équation gouvernante peut alors être réécrite comme suit :
En utilisant la substitution
la solution de l'équation ci-dessus s'écrit
Les constantes d'intégration C1 et C2 peuvent être obtenues à partir des conditions aux limites suivantes
La flèche résultante s'écrit alors
Pour δ non nul et pour l'extrémité de la barre, la condition suivante doit être vérifiée
La valeur minimale correspond à k = 1 et la force critique Pcr est alors, en substituant dans la relation de α,
Cas de flambement 2
La barre est supportée par des articulations, dont l'une est, de plus, coulissante. L'équation gouvernante s'écrit
la solution de cette équation différentielle est de la forme
Les constantes d'intégration C1 et C2 peuvent être obtenues à partir des conditions aux limites suivantes
Des conditions aux limites découle
Pour une constante C2 non nulle, on peut écrire
La valeur minimale correspond à k = 1 et la force critique Pcr est alors
Cas de flambement 3
La barre est encastrée à une extrémité et supportée par une articulation coulissante à l'autre. L'équation gouvernante peut alors être réécrite comme suit
où H est la réaction horizontale dans l'articulation. La solution de cette équation différentielle s'écrit
Les constantes d'intégration C1 et C2 peuvent être obtenues à partir des mêmes conditions aux limites que dans le cas 1. La flèche résultante est alors
Cette équation doit également satisfaire la condition aux limites pour la seconde extrémité de la barre, après substitution
Pour une réaction horizontale H non nulle, l'équation suivante doit être vérifiée
Cette équation transcendante peut être résolue numériquement ou graphiquement, avec la solution approximative
Cas de flambement 4
La barre est encastrée aux deux extrémités et une extrémité est coulissante. L'équation gouvernante prend la forme
où M1 est le moment de réaction dans l'appui fixe. La solution de cette équation différentielle s'écrit
Les constantes d'intégration C1 et C2 peuvent être obtenues à partir des conditions aux limites du cas 1. La solution générale s'écrit alors
Cette équation doit également satisfaire la condition aux limites pour la seconde extrémité de la barre, après substitution
Pour un moment de réaction M1 non nul, l'équation suivante
donne une valeur minimale pour k = 1 et la force critique Pcr est
Paramètres de RFEM et RSTAB
- Modélisé dans RFEM 6.13, RSTAB 9.12 et RFEM 5.16 et RSTAB 8.16
- Taille de l'élément lFE = 0,1 m
- Matériau élastique linéaire isotrope utilisé
- La méthode de Lanczos est utilisée pour l'analyse des valeurs propres
Résultats
| Cas de flambement | Solution analytique Pcr [kN] |
RFEM 6 Pcr [kN] |
Ratio [-] |
RSTAB 9 Pcr [kN] |
Ratio [-] |
RFEM 5 – RF-STABILITY Pcr [kN] |
Ratio [-] |
RSTAB 8 – RSBUCK Pcr [kN] |
Ratio [-] |
| Cas 1 | 5,151 | 5,150 | 1,000 | 5,150 | 1,000 | 5,150 | 1,000 | 5,153 | 1,000 |
| Cas 2 | 20,602 | 20,594 | 1,000 | 20,594 | 1,000 | 20,596 | 1,000 | 20,749 | 1,007 |
| Cas 3 | 42,147 | 42,109 | 0,999 | 42,109 | 0,999 | 42,107 | 0,999 | 43,190 | 1,025 |
| Cas 4 | 82,409 | 82,289 | 0,999 | 82,285 | 0,998 | 82,270 | 0,998 | 83,324 | 1,011 |
