2026-08-11

Flambagem de Euler

Descrição

Uma barra com seção transversal circular é apoiada de acordo com quatro casos básicos de flambagem de Euler e está sujeita a uma força de compressão P de acordo com a figura seguinte. Determine a carga crítica P_cr. O problema é descrito pelos seguintes parâmetros.

Material	Aço	Módulo de Elasticidade	E	210000.000	MPa
Material	Aço	Coeficiente de Poisson	ν	0.300	-
Geometria	Barra	Comprimento	L	2.000	m
Geometria	Barra	Diâmetro	d	30.000	mm
Carga	Força	Força	P	10.000	kN

Flambagem de Euler

Solução Analítica

A equação diferencial governante para todos os casos de flambagem é a seguinte:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} y = - \frac{M}{E I},

y	Coordenada na direção de encurvadura
M	Momento fletor relacionado com a secção transversal
I	Momento de inércia

Equação Diferencial Governante para Encurvadura

Caso de Flambagem 1

A barra está engastada numa extremidade e livre na outra. A equação governante pode então ser reescrita como:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} y = - \frac{P}{E I} (δ - y)

δ	Deflexão lateral máxima da ponta da escora

Equação governante para o Caso 1 (Fixado-Livre)

Usando a substituição

α = \sqrt{\frac{P}{E I}}

Substituição

a solução da equação acima é

y = C_{1} \cos (α x) + C_{2} \sin (α x) + δ

Solução geral y para o Caso 1

As constantes de integração C₁ e C₂ podem ser obtidas a partir das seguintes condições de fronteira

y (0) = 0

\frac{d}{d x} y (0) = 0

Condições limite para o Caso 1

A deflexão resultante é então

y = δ (1 - \cos (α x)))

Deflexão Resultante y para o Caso 1

Para δ diferente de zero e para a extremidade da barra, a seguinte condição tem de se verificar

\cos (α L) = 0 \Rightarrow α L = k \frac{π}{2}, k = 1, 3, 5, . . .

Condição para Caso 1

O valor mínimo corresponde a k = 1 e a força crítica P_cr é então, substituindo na relação de α,

P_{c r} = \frac{π^{2} E I}{4 L^{2}} \approx 5.151 kN

Força Crítica para o Caso 1

Caso de Flambagem 2

A barra é apoiada por meio de rótulas, onde uma delas é, adicionalmente, deslizante. A equação governante é

\frac{d^{2}}{d x^{2}} y = - \frac{P}{E I} y

Equação Governante para o Caso 2 (Deslizante com Extremidades Articuladas)

a solução desta equação diferencial é da forma

y = C_{1} \cos (α x) + C_{2} \sin (α x)

Solução Geral para o Caso 2

As constantes de integração C₁ e C₂ podem ser obtidas a partir das seguintes condições de fronteira

y (0) = 0,

y (L) = 0

Condições limite para o Caso 2

Das condições de fronteira segue-se

C_{2} \sin (α L) = 0

Condição para o Caso 2

Para a constante C₂ diferente de zero, pode escrever-se

\sin (α L) = 0 \Rightarrow α L = k π, k = 1, 2, 3, . . .

Condição para o Caso 2

O valor mínimo corresponde a k = 1 e a força crítica P_cr é então

P_{c r} = \frac{π^{2} E I}{L^{2}} \approx 20.602 k N

Força Crítica para o Caso 2

Caso de Flambagem 3

A barra está engastada numa extremidade e apoiada por meio de uma rótula deslizante na outra. A equação governante pode então ser reescrita como se segue

\frac{d^{2}}{d x^{2}} y = - \frac{P}{E I} (y - \frac{H}{P} (L - x))

Equação Governante para o Caso 3 (Apoio Fixo-Deslizante e Articulado)

onde H é a força de reação horizontal na rótula. A solução desta equação diferencial é

y = C_{1} \cos (α x) + C_{2} \sin (α x) + \frac{H}{P} (L - x)

Solução Geral para o Caso 3

As constantes de integração C₁ e C₂ podem ser obtidas a partir das mesmas condições de fronteira do Caso 1. A deflexão resultante é então

y = \frac{H}{P} (\frac{1}{α} \sin (α x) - L \cos (α x) + (L - x))

Deflexão Resultante para o Caso 3

Esta equação também deve satisfazer a condição de fronteira para a segunda extremidade da barra, após substituição

0 = \frac{H}{P} (\frac{1}{α} \sin (α L) - L \cos (α L))

Condição limite de substituição para o Caso 3

Para uma força de reação horizontal H diferente de zero, a seguinte equação tem de se verificar

\tan (α L) = α L

Condição Transcendental

Esta equação transcendental pode ser resolvida numericamente ou graficamente, com a solução aproximada

P_{c r} \approx 42.147 kN

Força Crítica para o Caso 3

Caso de Flambagem 4

A barra está engastada em ambas as extremidades e uma extremidade é deslizante. A equação governante toma a forma

\frac{d^{2}}{d x^{2}} y = - \frac{P}{E I} (y - \frac{M_{1}}{P})

M₁	Momento de reação no apoio fixo

Equação Governante para o Caso 4 (Deslizante Fixo-Fixo)

onde M₁ é o momento de reação no apoio fixo. A solução desta equação diferencial é

y = C_{1} \cos (α x) + C_{2} \sin (α x) + \frac{M_{1}}{P}

Solução Geral para o Caso 4

As constantes de integração C₁ e C₂ podem ser obtidas a partir das condições de fronteira do Caso 1. A solução geral é então

y = \frac{M_{1}}{P} (1 - \cos (α x))

Solução Geral (Simplificada) para o Caso 4

Esta equação também deve satisfazer a condição de fronteira para a segunda extremidade da barra, após substituição

0 = \frac{M_{1}}{P} (1 - \cos (α L))

Condição limite de substituição para o Caso 4

Para um momento de reação M₁ diferente de zero, a seguinte equação

\cos (α L) = 1 \Rightarrow α L = 2 k π, k = 1, 2, 3, . . .

Condição para o Caso 4

fornece um valor mínimo para k = 1 e a força crítica P_cr é

P_{c r} = \frac{4 π^{2} E I}{L^{2}} \approx 82.409 kN

Força Crítica para o Caso 4

Configurações do RFEM e RSTAB

Modelado no RFEM 6.13, RSTAB 9.12 e RFEM 5.16 e RSTAB 8.16
Tamanho do elemento l_FE = 0.1 m
É utilizado material elástico linear isotrópico
O método de Lanczos é utilizado para a análise de valores próprios

Resultados

Caso de Flambagem	Solução Analítica P_cr [kN]	RFEM 6 P_cr [kN]	Rácio [-]	RSTAB 9 P_cr [kN]	Rácio [-]	RFEM 5 – RF-STABILITY P_cr [kN]	Rácio [-]	RSTAB 8 – RSBUCK P_cr [kN]	Rácio [-]
Caso 1	5.151	5.150	1.000	5.150	1.000	5.150	1.000	5.153	1.000
Caso 2	20.602	20.594	1.000	20.594	1.000	20.596	1.000	20.749	1.007
Caso 3	42.147	42.109	0.999	42.109	0.999	42.107	0.999	43.190	1.025
Caso 4	82.409	82.289	0.999	82.285	0.998	82.270	0.998	83.324	1.011

Resultados no RFEM / RSTAB - Primeiro Autovetor

Exemplo de Verificação 0096 | 1

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