Wyboczenie Eulera

Opis

Pręt o przekroju kołowym jest podparty zgodnie z czterema podstawowymi przypadkami wyboczenia Eulera i poddany sile ściskającej P zgodnie z poniższym rysunkiem. Należy wyznaczyć obciążenie krytyczne P_cr. Problem opisany jest za pomocą następujących parametrów.

Materiał	Stal	Moduł sprężystości	E	210000.000	MPa
		Współczynnik Poissona	ν	0.300	-
Geometria	Pręt	Długość	L	2.000	m
		Średnica	d	30.000	mm
Obciążenie	Siła	Siła	P	10.000	kN

Rozwiązanie analityczne

Równaniem różniczkowym opisującym wszystkie przypadki wyboczenia jest następujące równanie:

Przypadek wyboczenia 1

Pręt jest utwierdzony na jednym końcu i wolny na drugim. Równanie opisujące można wtedy przekształcić do postaci:

Przy podstawieniu

rozwiązanie powyższego równania ma postać

Stałe całkowania C₁ i C₂ można wyznaczyć z następujących warunków brzegowych

Wynikowe ugienie wynosi wtedy

Dla niezerowego δ oraz dla końca pręta musi być spełniony następujący warunek

Wartość minimalna odpowiada k = 1, a siła krytyczna P_cr wynosi wtedy, po podstawieniu do zależności α,

Przypadek wyboczenia 2

Pręt jest podparty za pomocą podpór przegubowych, przy czym jedna z nich jest przesuwna. Równanie opisujące ma postać

rozwiązanie tego równania różniczkowego przyjmuje postać

Stałe całkowania C₁ i C₂ można wyznaczyć z następujących warunków brzegowych

Przy użyciu powyższych warunków brzegowych rozwiązanie ogólne dla Przypadku 2 można zapisać w następującej postaci

Dla niezerowej stałej C₂ można zapisać

Wartość minimalna odpowiada k = 1, a siła krytyczna P_cr wynosi wtedy

Przypadek wyboczenia 3

Pręt jest utwierdzony na jednym końcu i podparty za pomocą przesuwnej podpory przegubowej na drugim. Równanie opisujące można wtedy przekształcić następująco

gdzie H jest poziomą siłą reakcji w podporze przegubowej. Rozwiązanie tego równania różniczkowego ma postać

Stałe całkowania C₁ i C₂ można wyznaczyć z tych samych warunków brzegowych co w Przypadku 1. Wynikowe ugienie wynosi wtedy

To równanie musi również spełniać warunek brzegowy dla drugiego końca pręta; po podstawieniu warunku brzegowego zerowego ugienia

Dla niezerowej poziomej siły reakcji H musi być spełnione następujące równanie

To równanie transcendentalne można rozwiązać numerycznie lub graficznie, z przybliżonym rozwiązaniem

Przypadek wyboczenia 4

Pręt jest utwierdzony na obu końcach, przy czym jeden koniec jest przesuwny. Równanie opisujące przyjmuje postać

gdzie M₁ jest momentem reakcji w utwierdzeniu. Rozwiązanie tego równania różniczkowego ma postać

Stałe całkowania C₁ i C₂ można wyznaczyć z warunków brzegowych Przypadku 1. Rozwiązanie ogólne wynosi wtedy

To równanie musi również spełniać warunek brzegowy dla drugiego końca pręta; po podstawieniu warunku brzegowego zerowego ugienia

Dla niezerowego momentu reakcji M₁ następujące równanie

daje wartość minimalną dla k = 1, a siła krytyczna P_cr wynosi

Ustawienia RFEM i RSTAB

• Modelowanie w RFEM 6.13, RSTAB 9.12, RFEM 5.16 i RSTAB 8.16
• Rozmiar elementu l_FE = 0.1 m
• Zastosowano izotropowy liniowo-sprężysty materiał
• Do analizy wartości własnych zastosowano metodę Lanczosa

Wyniki

Przypadek wyboczenia	Rozwiązanie analityczne Pcr [kN]	RFEM 6 Pcr [kN]	Iloraz [-]	RSTAB 9 Pcr [kN]	Iloraz [-]	RFEM 5 – RF-STABILITY Pcr [kN]	Iloraz [-]	RSTAB 8 – RSBUCK Pcr [kN]	Iloraz [-]
Przypadek 1	5.151	5.150	1.000	5.150	1.000	5.150	1.000	5.153	1.000
Przypadek 2	20.602	20.594	1.000	20.594	1.000	20.596	1.000	20.749	1.007
Przypadek 3	42.147	42.109	0.999	42.109	0.999	42.107	0.999	43.190	1.025
Przypadek 4	82.409	82.289	0.999	82.285	0.998	82.270	0.998	83.324	1.011