2026-08-11

欧拉屈曲

问题描述

一根圆形截面的受压杆件，根据欧拉屈曲的四种基本工况进行支撑，并承受如下图所示压力P。请确定其临界荷载P_cr。该问题由以下参数描述。

材料	钢材	弹性模量	E	210000.000	MPa
材料	钢材	泊松比	ν	0.300	-
几何尺寸	杆件	长度	L	2.000	m
几何尺寸	杆件	直径	d	30.000	mm
荷载	力	力	P	10.000	kN

欧拉屈曲

解析解

所有屈曲工况的控制微分方程如下：

\frac{d^{2}}{d x^{2}} y = - \frac{M}{E I},

y	坐标在屈曲方向上
M	与截面相关的弯矩
I	惯性矩

控制屈曲的微分方程

屈曲工况 1

杆件一端固定，另一端自由。控制方程可以改写为：

\frac{d^{2}}{d x^{2}} y = - \frac{P}{E I} (δ - y)

δ	斜压杆顶部的最大侧向挠度

工况1（固定-自由）的控制方程

使用代换

α = \sqrt{\frac{P}{E I}}

替代

上述方程的解为

y = C_{1} \cos (α x) + C_{2} \sin (α x) + δ

情况1的通解y

积分常数 C₁ 和 C₂ 可以通过以下边界条件求得

y (0) = 0

\frac{d}{d x} y (0) = 0

工况1的边界条件

由此产生的挠度为

y = δ (1 - \cos (α x)))

Resultierende Durchbiegung y für 工况 1

对于非零的 δ 和杆端顶部，必须满足以下条件

\cos (α L) = 0 \Rightarrow α L = k \frac{π}{2}, k = 1, 3, 5, . . .

工况1的条件

最小值对应于 k = 1，然后通过将其代入 α 关系式，得到临界力 P_cr 为

P_{c r} = \frac{π^{2} E I}{4 L^{2}} \approx 5.151 kN

情况1的临界力

屈曲工况 2

杆件由铰接支座支撑，其中一个支座还可以滑动。控制方程如下

\frac{d^{2}}{d x^{2}} y = - \frac{P}{E I} y

Case 2的控制方程（两端铰接-滑移）

该微分方程的解具有以下形式

y = C_{1} \cos (α x) + C_{2} \sin (α x)

工况2的一般解

积分常数 C₁ 和 C₂ 可以通过以下边界条件求得

y (0) = 0,

y (L) = 0

工况2的边界条件

由边界条件得出

C_{2} \sin (α L) = 0

Case 2 的条件

对于非零常数 C₂，可以写为

\sin (α L) = 0 \Rightarrow α L = k π, k = 1, 2, 3, . . .

案例2的条件

最小值对应于 k = 1，此时临界力 P_cr 为

P_{c r} = \frac{π^{2} E I}{L^{2}} \approx 20.602 k N

情况2的临界力

屈曲工况 3

杆件一端固定，另一端由可滑动的铰接支座支撑。控制方程可以改写如下

\frac{d^{2}}{d x^{2}} y = - \frac{P}{E I} (y - \frac{H}{P} (L - x))

案例3（固定-滑动销接）的控制方程

其中 H 是铰支座处的水平反力。该微分方程的解为

y = C_{1} \cos (α x) + C_{2} \sin (α x) + \frac{H}{P} (L - x)

工况3的通用解决方案

积分常数 C₁ 和 C₂ 可以采用与工况 1 相同的边界条件求得。由此产生的挠度为

y = \frac{H}{P} (\frac{1}{α} \sin (α x) - L \cos (α x) + (L - x))

工况3的结果挠度

该方程在代入后，还必须满足杆件另一端的边界条件

0 = \frac{H}{P} (\frac{1}{α} \sin (α L) - L \cos (α L))

工况3的边界条件替换

对于非零的水平反力 H，必须满足以下方程

\tan (α L) = α L

超越条件

该超越方程可以通过数值或图解法求解，近似解为

P_{c r} \approx 42.147 kN

案例3的临界力

屈曲工况 4

杆件两端固定，且一端可以滑动。控制方程形式如下

\frac{d^{2}}{d x^{2}} y = - \frac{P}{E I} (y - \frac{M_{1}}{P})

M₁	固定支座中的反力弯矩

工况4的控制方程（固支-固支滑移）

其中 M₁ 是固定支座处的反力矩。该微分方程的解为

y = C_{1} \cos (α x) + C_{2} \sin (α x) + \frac{M_{1}}{P}

通用解（情形4）

积分常数 C₁ 和 C₂ 可以通过工况 1 的边界条件求得。通解为

y = \frac{M_{1}}{P} (1 - \cos (α x))

工况4的通用解（简化）

该方程在代入后，还必须满足杆件另一端的边界条件

0 = \frac{M_{1}}{P} (1 - \cos (α L))

工况4的边界条件替换

对于非零的反力矩 M₁，以下方程

\cos (α L) = 1 \Rightarrow α L = 2 k π, k = 1, 2, 3, . . .

条件：工况 4

在 k = 1 时取得最小值，临界力 P_cr 为

P_{c r} = \frac{4 π^{2} E I}{L^{2}} \approx 82.409 kN

情况4的临界力

RFEM 和 RSTAB 设置

在 RFEM 6.13、RSTAB 9.12 以及 RFEM 5.16 和 RSTAB 8.16 中建模
单元尺寸 l_FE = 0.1 m
使用各向同性线弹性材料
使用 Lanczos 方法进行特征值分析

结果

屈曲工况	解析解 P_cr [kN]	RFEM 6 P_cr [kN]	比率 [-]	RSTAB 9 P_cr [kN]	比率 [-]	RFEM 5 – RF-STABILITY P_cr [kN]	比率 [-]	RSTAB 8 – RSBUCK P_cr [kN]	比率 [-]
工况 1	5.151	5.150	1.000	5.150	1.000	5.150	1.000	5.153	1.000
工况 2	20.602	20.594	1.000	20.594	1.000	20.596	1.000	20.749	1.007
工况 3	42.147	42.109	0.999	42.109	0.999	42.107	0.999	43.190	1.025
工况 4	82.409	82.289	0.999	82.285	0.998	82.270	0.998	83.324	1.011

RFEM / RSTAB 中的结果 - 第一特征向量

验证示例0096 | 1

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