11-08-2026

Pandeo de Euler

Descripción

Una barra con sección transversal circular está apoyada según los cuatro casos básicos de pandeo de Euler y está sometida a una fuerza de compresión P según la siguiente figura. Determine la carga crítica P_cr. El problema se describe mediante los siguientes parámetros.

Material	Acero	Módulo de elasticidad	E	210000.000	MPa
Material	Acero	Coeficiente de Poisson	ν	0.300	-
Geometría	Barra	Longitud	L	2.000	m
Geometría	Barra	Diámetro	d	30.000	mm
Carga	Fuerza	Fuerza	P	10.000	kN

Pandeo de Euler

Solución analítica

La ecuación diferencial gobernante para todos los casos de pandeo es la siguiente:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} y = - \frac{M}{E I},

y	Coordenada en la dirección de pandeo.
M	Momento flector relacionado con la sección transversal
I	Momento de inercia

Ecuación diferencial gobernante para el pandeo

Caso de pandeo 1

La barra está empotrada en un extremo y libre en el otro. La ecuación gobernante se puede reescribir entonces como:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} y = - \frac{P}{E I} (δ - y)

δ	Desviación lateral máxima de la punta de la biela

Ecuación rectora para el Caso 1 (Fijo-Libre)

Usando la sustitución

α = \sqrt{\frac{P}{E I}}

Sustitución

la solución de la ecuación anterior se expresa como

y = C_{1} \cos (α x) + C_{2} \sin (α x) + δ

Solución general y para el Caso 1

Las constantes de integración C₁ y C₂ se pueden obtener de las siguientes condiciones de contorno

y (0) = 0

\frac{d}{d x} y (0) = 0

Condiciones de contorno para el Caso 1

La deflexión resultante entonces se expresa

y = δ (1 - \cos (α x)))

Flecha resultante y para el caso 1

Para δ distinto de cero y para el extremo de la barra, se debe cumplir la siguiente condición

\cos (α L) = 0 \Rightarrow α L = k \frac{π}{2}, k = 1, 3, 5, . . .

Condición para el Caso 1

El valor mínimo corresponde a k = 1 y la fuerza crítica P_cr es entonces, sustituyendo en la relación de &alfa;,

P_{c r} = \frac{π^{2} E I}{4 L^{2}} \approx 5.151 kN

Fuerza crítica para el caso 1

Caso de pandeo 2

La barra está apoyada mediante articulaciones fijas, donde una es, además, deslizante. La ecuación gobernante se expresa como

\frac{d^{2}}{d x^{2}} y = - \frac{P}{E I} y

Ecuación gobernante para el caso 2 (apoyo deslizante articulado-articulado)

la solución de esta ecuación diferencial es de la forma

y = C_{1} \cos (α x) + C_{2} \sin (α x)

Solución General para el Caso 2

Las constantes de integración C₁ y C₂ se pueden obtener de las siguientes condiciones de contorno

y (0) = 0,

y (L) = 0

Condiciones de contorno para el Caso 2

De las condiciones de contorno se deduce

C_{2} \sin (α L) = 0

Condición para el caso 2

Para la constante C₂ distinta de cero se puede escribir

\sin (α L) = 0 \Rightarrow α L = k π, k = 1, 2, 3, . . .

Condición para el Caso 2

El valor mínimo corresponde a k = 1 y la fuerza crítica P_cr es entonces

P_{c r} = \frac{π^{2} E I}{L^{2}} \approx 20.602 k N

Fuerza crítica para el Caso 2

Caso de pandeo 3

La barra está empotrada en un extremo y apoyada mediante una articulación fija deslizante en el otro. La ecuación gobernante se puede reescribir entonces como sigue

\frac{d^{2}}{d x^{2}} y = - \frac{P}{E I} (y - \frac{H}{P} (L - x))

Ecuación Gobernante para el Caso 3 (Fijo-Deslizante Articulado)

donde H es la fuerza de reacción horizontal en la articulación fija. La solución de esta ecuación diferencial se expresa como

y = C_{1} \cos (α x) + C_{2} \sin (α x) + \frac{H}{P} (L - x)

Solución General para el Caso 3

Las constantes de integración C₁ y C₂ se pueden obtener de las mismas condiciones de contorno que en el Caso 1. La deflexión resultante es entonces

y = \frac{H}{P} (\frac{1}{α} \sin (α x) - L \cos (α x) + (L - x))

Flecha resultante para el caso 3

Esta ecuación también debe satisfacer la condición de contorno para el segundo extremo de la barra, después de la sustitución

0 = \frac{H}{P} (\frac{1}{α} \sin (α L) - L \cos (α L))

Sustitución de condición de contorno para el Caso 3

Para una fuerza de reacción horizontal H distinta de cero, se debe cumplir la siguiente ecuación

\tan (α L) = α L

Condición trascendental

Esta ecuación trascendental se puede resolver numérica o gráficamente, con la solución aproximada

P_{c r} \approx 42.147 kN

Fuerza crítica para el Caso 3

Caso de pandeo 4

La barra está empotrada en ambos extremos y un extremo es deslizante. La ecuación gobernante toma la forma

\frac{d^{2}}{d x^{2}} y = - \frac{P}{E I} (y - \frac{M_{1}}{P})

M₁	Momento de reacción en el apoyo fijo

Ecuación Gobernante para el Caso 4 (Deslizamiento Fijo-Fijo)

donde M₁ es el momento de reacción en el apoyo empotrado. La solución de esta ecuación diferencial se expresa como

y = C_{1} \cos (α x) + C_{2} \sin (α x) + \frac{M_{1}}{P}

Solución general para el caso 4

Las constantes de integración C₁ y C₂ se pueden obtener de las condiciones de contorno del Caso 1. La solución general entonces se expresa

y = \frac{M_{1}}{P} (1 - \cos (α x))

Solución General (Simplificada) para el Caso 4

Esta ecuación también debe satisfacer la condición de contorno para el segundo extremo de la barra, después de la sustitución

0 = \frac{M_{1}}{P} (1 - \cos (α L))

Sustitución de condición de contorno para el Caso 4

Para un momento de reacción M₁ distinto de cero, la siguiente ecuación

\cos (α L) = 1 \Rightarrow α L = 2 k π, k = 1, 2, 3, . . .

Condición para el caso 4

proporciona un valor mínimo para k = 1 y la fuerza crítica P_cr es

P_{c r} = \frac{4 π^{2} E I}{L^{2}} \approx 82.409 kN

Fuerza crítica para el caso 4

Configuración de RFEM y RSTAB

Modelado en RFEM 6.13, RSTAB 9.12 y RFEM 5.16 y RSTAB 8.16
Tamaño del elemento l_FE = 0.1 m
Se utiliza material elástico lineal isótropo
Se utiliza el método de Lanczos para el análisis de valores propios

Resultados

Caso de pandeo	Solución analítica P_cr [kN]	RFEM 6 P_cr [kN]	Ratio [-]	RSTAB 9 P_cr [kN]	Ratio [-]	RFEM 5 – RF-STABILITY P_cr [kN]	Ratio [-]	RSTAB 8 – RSBUCK P_cr [kN]	Ratio [-]
Caso 1	5.151	5.150	1.000	5.150	1.000	5.150	1.000	5.153	1.000
Caso 2	20.602	20.594	1.000	20.594	1.000	20.596	1.000	20.749	1.007
Caso 3	42.147	42.109	0.999	42.109	0.999	42.107	0.999	43.190	1.025
Caso 4	82.409	82.289	0.999	82.285	0.998	82.270	0.998	83.324	1.011

Resultados en RFEM / RSTAB - Primer vector propio

Ejemplo de Verificación 0096 | 1

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