Momento polar / Momento de inércia para verificações de punção no ACI 318 e CSA A23.3

Nos parágrafos a seguir, o método de cálculo conforme ACI 421.1R-20 [1] será explicado usando um exemplo de pilar interno retangular. Subsequentemente, os resultados das fórmulas analíticas serão apresentados e, ao final, comparados com os resultados do RFEM 6.

1. Fórmula conforme ACI 421.1R-20 – Exemplo de Pilar Interno

\( J_x = d \sum\left[ \dfrac{l}{3} \cdot \left( y_i^2 + y_i y_{i+1} + y_{i+1}^2 \right) \right] \)

\( J_y = d \sum\left[ \dfrac{l}{3} \cdot \left( x_i^2 + x_i x_{i+1} + x_{i+1}^2 \right) \right] \)

Sistema Para o cálculo dos momentos de inércia, são fornecidos a seção transversal do pilar e a altura efetiva da laje.

Planta de pilar interno com cotas

• Seção transversal do pilar: b = 12 in
• Seção transversal do pilar: h = 16 in
• Altura efetiva da laje: d = 8,5 in

A secção crítica de cálculo está localizada a uma distância de 0,5d das bordas da seção transversal. Para o cálculo do momento de inércia, são necessárias as distâncias dos vértices da secção crítica até o centro de gravidade da mesma.

Para os vértices, as seguintes coordenadas resultam:

• Ponto 1 (-10,25 / 12,25)
• Ponto 2 (10,25 / 12,25)
• Ponto 3 (10,25 / -12,25)
• Ponto 4 (-10,25 / -12,25)

No exemplo a seguir, os momentos de inércia são calculados exemplificativamente. Os valores da fórmula y_i e x_i são as respectivas coordenadas dos pontos 1 a 4.

As distâncias de cada lado são calculadas a partir das coordenadas das distâncias anteriormente determinadas.

• l_1-2 = 20,5 in
• l_2-3 = 24,5 in
• l_3-4 = 20,5 in
• l_4-1 = 24,5 in

Cálculo do momento de inércia I_x:

I_x1 = d * [l_1-2/3 * (y₁² + y₁ * y₂ + y₂²)] I_x1 = 8,5 * [20,5/3 * (12,25² + 12,25 * 12,25 + 12,25²)] I_x1 = 26148 in⁴

I_x2 = d * [l_2-3/3 * (y₂² + y₂ * y₃ + y₃²)] I_x2 = 8,5 * [24,5/3 * (12,25² + 12,25 * -12,25 + (-12,25))²)] I_x2 = 10417 in⁴

I_x3 = d * [l_3-4/3 * (y₃² + y₃ * y₄ + y₄²)] I_x3 = 8,5 * [20,5/3 * ((-12,25)² - 12,25 * -12,25 + (-12,25)²)] I_x3 = 26148 in⁴

I_x4 = d * [l_4-1/3 * (y₄² + y₄ * y₁ + y₁²)] I_x4 = 8,5 * [24,5/3 * ((-12,25)² - 12,25 * 12,25 + 12,25)²)] I_x4 = 10417 in⁴

∑ I_x = 73130 in⁴

Cálculo do momento de inércia I_y:

I_y1 = d * [l_1-2/3 * (x₁² + x₁ * x₂ + x₂²)] I_y1 = 8,5 * [20,5/3 * ((-10,25)² - 10,25 * 10,25 + 10,25)²)] I_y1 = 6102 in⁴

I_y2 = d * [l_2-3/3 * (x₂² + x₂ * x₃ + x₃²)] I_y2 = 8,5 * [24,5/3 * (10,25² + 10,25 * 10,25 + 10,25²)] I_y2 = 21879 in⁴

I_y3 = d * [l_3-4/3 * (x₃² + x₃ * x₄ + x₄²)] I_y3 = 8,5 * [20,5/3 * (10,25² + 10,25 * -10,25 +(-10,25)²)] I_y3 = 6102 in⁴

I_y4 = d * [l_4-1/3 * (x₄² + x₄ * x₁ + x₁²)] I_y4 = 8,5 * [24,5/3 * ((-10,25)² - 10,25 * -10,25 + (-10,25)²)] I_y4 = 21879 in⁴

∑ I_y = 55962 in⁴

2. Comparação com fórmulas analíticas - Pilar Interno

• 2.1 - Fórmula do ACI 318-19 [2], página 108

\( J_x = \dfrac{d(h + d)^3}{6} + \dfrac{d^3(h + d)}{6} + \dfrac{d(b + d)(h + d)^2}{2} \)

\( J_y = \dfrac{d(b + d)^3}{6} + \dfrac{d^3(b + d)}{6} + \dfrac{d(h + d)(b + d)^2}{2} \)

b = 12 in h = 16 in d = 8,5 in

I_x = 75638 in⁴ I_y = 58061 in⁴

• 2.2 - Fórmula da publicação Jordahl [3] USA, Inc. | Studrails | 03-2023

\( J_x = d \left( \dfrac{L_y^3 }{6} + \dfrac{L_x L_y^2}{2} \right) \)

\( J_y = d \left( \dfrac{L_x^3 }{6} + \dfrac{L_y L_x^2}{2} \right) \)

b = 12 in h = 16 in d = 8,5 in L_x = 20,5 in L_y = 24,5 in

I_x = 73130 in⁴ I_y = 55963 in⁴

3. Comparação com fórmulas analíticas - Pilar de Bordo

Pilares de bordo possuem uma assimetria na seção crítica devido à sua posição no limite das lajes. Isso desloca o centro de gravidade e precisa ser considerado no cálculo subsequente.

• 3.1 - Fórmula do CAC Concrete Design Handbook - 4 ^th Edition [4]

Pilar de bordo de planta com dimensões

\( J_x = \dfrac{(h + d)d^3 + (h + d)^3 d}{12} + 2\left(b + \dfrac{d}{2}\right)d(e_2)^2 \)

\( J_y = \dfrac{(b + \dfrac{d}{2})d^3 + (b + \dfrac{d}{2})^3 d}{6} + \left(h + d\right) d(e_1)^2 + 2\left(b + \dfrac{d}{2}\right)d\left(\dfrac{b + \dfrac{d}{2}}{2 - e_1}\right)^2 \)

b = 12 in h = 16 in d = 8,5 in

e₁ = (h + d/2)² / (2h + b + 2d) = 4,63 in e₂ = (b + d)/ 2 = 12,25 in

I_x = 53125 in⁴ I_y = 15581 in⁴

Comparação de Resultados

Como mencionado no início do artigo técnico, o momento polar de inércia no RFEM 6 é calculado com base na abordagem do ACI 421.1R-20 [1]. Em comparação com os cálculos manuais utilizando fórmulas analíticas, os valores resultantes são ligeiramente inferiores, devido à negligência de uma parte do momento de inércia (para geometrias retangulares, a parte b*d³/6). Com os menores momentos de inércia, os resultados da verificação de punção são conservadores. No entanto, a verdadeira vantagem da fórmula implementada reside na sua aplicabilidade universal, permitindo considerar todas as formas de seção transversal e condições geométricas.