Polární moment / Moment setrvačnosti pro posouzení protlačení podle ACI 318 a CSA A23.3

V následujícím textu je vysvětlen výpočetní postup podle ACI 421.1R-20 [1] na příkladu pravoúhlé vnitřní podpěry. Dále jsou uvedeny výsledky analytických vzorců a na závěr jsou porovnány s výsledky ze softwaru RFEM 6.

1. Vzorec podle ACI 421.1R-20 – příklad vnitřní podpěry

\( J_x = d \sum\left[ \dfrac{l}{3} \cdot \left( y_i^2 + y_i y_{i+1} + y_{i+1}^2 \right) \right] \)

\( J_y = d \sum\left[ \dfrac{l}{3} \cdot \left( x_i^2 + x_i x_{i+1} + x_{i+1}^2 \right) \right] \)

Systém Pro výpočet momentů setrvačnosti jsou dány rozměry průřezu podpěry a statická výška stropu.

Půdorys vnitřního sloupu s kótováním

• Průřez podpěry: b = 12 in
• Průřez podpěry: h = 16 in
• Statická výška stropu: d = 8,5 in

Kritický obvod je odsazen o 0,5d od okrajů průřezu. Pro výpočet momentu setrvačnosti jsou potřeba vzdálenosti rohů na kritickém obvodu ke středu kritického obvodu.

Z toho vyplývají pro rohy následující souřadnice.

• Bod 1 (-10,25 / 12,25)
• Bod 2 (10,25 / 12,25)
• Bod 3 (10,25 / -12,25)
• Bod 4 (-10,25 / -12,25)

V následujícím příkladu budou vypočítány momenty setrvačnosti jako příklad. Hodnoty vzorce y_i a x_i jsou odpovídající souřadnice z bodů 1 až 4.

Vzdálenosti každé strany se vypočítají z dříve určených souřadnic vzdáleností.

• l_1-2 = 20,5 in
• l_2-3 = 24,5 in
• l_3-4 = 20,5 in
• l_4-1 = 24,5 in

Výpočet momentu setrvačnosti I_x:

I_x1 = d * [l_1-2/3 * (y₁² + y₁ * y₂ + y₂²)] I_x1 = 8,5 * [20,5/3 * (12,25² + 12,25 * 12,25 + 12,25²)] I_x1 = 26148 in⁴

I_x2 = d * [l_2-3/3 * (y₂² + y₂ * y₃ + y₃²)] I_x2 = 8,5 * [24,5/3 * (12,25² + 12,25 * -12,25 + (-12,25))²)] I_x2 = 10417 in⁴

I_x3 = d * [l_3-4/3 * (y₃² + y₃ * y₄ + y₄²)] I_x3 = 8,5 * [20,5/3 * ((-12,25)² - 12,25 * -12,25 + (-12,25)²)] I_x3 = 26148 in⁴

I_x4 = d * [l_4-1/3 * (y₄² + y₄ * y₁ + y₁²)] I_x4 = 8,5 * [24,5/3 * ((-12,25)² - 12,25 * 12,25 + 12,25)²)] I_x4 = 10417 in⁴

∑ I_x = 73130 in⁴

Výpočet momentu setrvačnosti I_y:

I_y1 = d * [l_1-2/3 * (x₁² + x₁ * x₂ + x₂²)] I_y1 = 8,5 * [20,5/3 * ((-10,25)² - 10,25 * 10,25 + 10,25)²)] I_y1 = 6102 in⁴

I_y2 = d * [l_2-3/3 * (x₂² + x₂ * x₃ + x₃²)] I_y2 = 8,5 * [24,5/3 * (10,25² + 10,25 * 10,25 + 10,25²)] I_y2 = 21879 in⁴

I_y3 = d * [l_3-4/3 * (x₃² + x₃ * x₄ + x₄²)] I_y3 = 8,5 * [20,5/3 * (10,25² + 10,25 * -10,25 +(-10,25)²)] I_y3 = 6102 in⁴

I_y4 = d * [l_4-1/3 * (x₄² + x₄ * x₁ + x₁²)] I_y4 = 8,5 * [24,5/3 * ((-10,25)² - 10,25 * -10,25 + (-10,25)²)] I_y4 = 21879 in⁴

∑ I_y = 55962 in⁴

2. Porovnání s analytickými vzorci - vnitřní podpěra

• 2.1 - Vzorec z ACI 318-19 [2], strana 108

\( J_x = \dfrac{d(h + d)^3}{6} + \dfrac{d^3(h + d)}{6} + \dfrac{d(b + d)(h + d)^2}{2} \)

\( J_y = \dfrac{d(b + d)^3}{6} + \dfrac{d^3(b + d)}{6} + \dfrac{d(h + d)(b + d)^2}{2} \)

b = 12 in h = 16 in d = 8,5 in

I_x = 75638 in⁴ I_y = 58061 in⁴

• 2.2 - Vzorec z Literatury Jordahl [3] USA, Inc. | Studrails | 03-2023

\( J_x = d \left( \dfrac{L_y^3 }{6} + \dfrac{L_x L_y^2}{2} \right) \)

\( J_y = d \left( \dfrac{L_x^3 }{6} + \dfrac{L_y L_x^2}{2} \right) \)

b = 12 in h = 16 in d = 8,5 in L_x = 20,5 in L_y = 24,5 in

I_x = 73130 in⁴ I_y = 55963 in⁴

3. Porovnání s analytickými vzorci - krajní podpěra

Krajní podpěry mají kvůli své poloze vůči okraji desky asymertii kritického obvodu. Tím se posune těžiště a toto je třeba při dalším výpočtu zohlednit.

• 3.1 - Vzorec z CAC Concrete Design Handbook - 4 ^th Edition [4]

Půdorys okrajového sloupu s ocěřeními

\( J_x = \dfrac{(h + d)d^3 + (h + d)^3 d}{12} + 2\left(b + \dfrac{d}{2}\right)d(e_2)^2 \)

\( J_y = \dfrac{(b + \dfrac{d}{2})d^3 + (b + \dfrac{d}{2})^3 d}{6} + \left(h + d\right) d(e_1)^2 + 2\left(b + \dfrac{d}{2}\right)d\left(\dfrac{b + \dfrac{d}{2}}{2 - e_1}\right)^2 \)

b = 12 in h = 16 in d = 8,5 in

e₁ = (h + d/2)² / (2h + b + 2d) = 4,63 in e₂ = (b + d)/ 2 = 12,25 in

I_x = 53125 in⁴ I_y = 15581 in⁴

Porovnání výsledků

Jak bylo zmíněno na začátku odborného článku, polární moment setrvačnosti v RFEM 6 je vypočítáván dle postupu z ACI 421.1R-20 [1]. Ve srovnání s ručními výpočty pomocí analytických vzorců vycházejí o něco menší hodnoty, což je způsobeno zanedbáním části momentu setrvačnosti (u obdélníkových geometrických útvarů části b*d³/6). Díky menším momentům setrvačnosti jsou výsledky posudku na protlačení bezpečnější. Skutečnou výhodou implementovaného vzorce je však jeho univerzální použitelnost, lze zohlednit všechny tvary průřezů a geometrické situace.