Polares Moment / Moment bezwładności dla sprawdzenia przebicia w ACI 318 i CSA A23.3

W poniższym przykładzie zostanie objaśniona metoda obliczeniowa według ACI 421.1R-20 [1] na przykładzie prostokątnego słupa wewnętrznego. Następnie przedstawione zostaną wyniki wzorów analitycznych, które na końcu zostaną porównane z wynikami RFEM 6.

1. Wzór według ACI 421.1R-20 – Przykład słupa wewnętrznego

\( J_x = d \sum\left[ \dfrac{l}{3} \cdot \left( y_i^2 + y_i y_{i+1} + y_{i+1}^2 \right) \right] \)

\( J_y = d \sum\left[ \dfrac{l}{3} \cdot \left( x_i^2 + x_i x_{i+1} + x_{i+1}^2 \right) \right] \)

System Do obliczenia momentów bezwładności podane są przekrój słupa oraz statyczna wysokość stropu.

Rzut wewnętrznej podpory z wymiarowaniem

• Przekrój słupa: b = 12 in
• Przekrój słupa: h = 16 in
• Statyczna wysokość stropu: d = 8,5 in

Krytyczny obwód znajduje się w odległości 0,5d od krawędzi przekroju. Do obliczenia momentu bezwładności potrzebne są odległości wierzchołków krytycznego obwodu od środka ciężkości krytycznego obwodu.

Z tego wynikają następujące współrzędne narożników.

• Punkt 1 (-10,25 / 12,25)
• Punkt 2 (10,25 / 12,25)
• Punkt 3 (10,25 / -12,25)
• Punkt 4 (-10,25 / -12,25)

W poniższym przykładzie, momenty bezwładności zostaną obliczone przykładowo. Wartości wzorów y_i oraz x_i to odpowiednie współrzędne z punktów 1 do 4.

Odległości każdej strony wynikają z wcześniej ustalonych współrzędnych odległości.

• l_1-2 = 20,5 in
• l_2-3 = 24,5 in
• l_3-4 = 20,5 in
• l_4-1 = 24,5 in

Obliczanie momentu bezwładności I_x:

I_x1 = d * [l_1-2/3 * (y₁² + y₁ * y₂ + y₂²)] I_x1 = 8,5 * [20,5/3 * (12,25² + 12,25 * 12,25 + 12,25²)] I_x1 = 26148 in⁴

I_x2 = d * [l_2-3/3 * (y₂² + y₂ * y₃ + y₃²)] I_x2 = 8,5 * [24,5/3 * (12,25² + 12,25 * -12,25 + (-12,25))²)] I_x2 = 10417 in⁴

I_x3 = d * [l_3-4/3 * (y₃² + y₃ * y₄ + y₄²)] I_x3 = 8,5 * [20,5/3 * ((-12,25)² - 12,25 * -12,25 + (-12,25)²)] I_x3 = 26148 in⁴

I_x4 = d * [l_4-1/3 * (y₄² + y₄ * y₁ + y₁²)] I_x4 = 8,5 * [24,5/3 * ((-12,25)² - 12,25 * 12,25 + 12,25)²)] I_x4 = 10417 in⁴

∑ I_x = 73130 in⁴

Obliczanie momentu bezwładności I_y:

I_y1 = d * [l_1-2/3 * (x₁² + x₁ * x₂ + x₂²)] I_y1 = 8,5 * [20,5/3 * ((-10,25)² - 10,25 * 10,25 + 10,25)²)] I_y1 = 6102 in⁴

I_y2 = d * [l_2-3/3 * (x₂² + x₂ * x₃ + x₃²)] I_y2 = 8,5 * [24,5/3 * (10,25² + 10,25 * 10,25 + 10,25²)] I_y2 = 21879 in⁴

I_y3 = d * [l_3-4/3 * (x₃² + x₃ * x₄ + x₄²)] I_y3 = 8,5 * [20,5/3 * (10,25² + 10,25 * -10,25 +(-10,25)²)] I_y3 = 6102 in⁴

I_y4 = d * [l_4-1/3 * (x₄² + x₄ * x₁ + x₁²)] I_y4 = 8,5 * [24,5/3 * ((-10,25)² - 10,25 * -10,25 + (-10,25)²)] I_y4 = 21879 in⁴

∑ I_y = 55962 in⁴

2. Porównanie z wzorami analitycznymi - Słup wewnętrzny

• 2.1 - Wzór z ACI 318-19 [2], strona 108

\( J_x = \dfrac{d(h + d)^3}{6} + \dfrac{d^3(h + d)}{6} + \dfrac{d(b + d)(h + d)^2}{2} \)

\( J_y = \dfrac{d(b + d)^3}{6} + \dfrac{d^3(b + d)}{6} + \dfrac{d(h + d)(b + d)^2}{2} \)

b = 12 in h = 16 in d = 8,5 in

I_x = 75638 in⁴ I_y = 58061 in⁴

• 2.2 - Wzór z książki Jordahl [3] USA, Inc. | Studrails | 03-2023

\( J_x = d \left( \dfrac{L_y^3 }{6} + \dfrac{L_x L_y^2}{2} \right) \)

\( J_y = d \left( \dfrac{L_x^3 }{6} + \dfrac{L_y L_x^2}{2} \right) \)

b = 12 in h = 16 in d = 8,5 in L_x = 20,5 in L_y = 24,5 in

I_x = 73130 in⁴ I_y = 55963 in⁴

3. Porównanie z wzorami analitycznymi - Słup na krawędzi

Słupy na krawędziach w związku z ich położeniem względem krawędzi płyty uzyskują niesymetrię krytycznego obwodu. W rezultacie środek ciężkości przesuwa się i musi być uwzględniony w dalszych obliczeniach.

• 3.1 - Wzór z CAC Concrete Design Handbook - 4 ^th Edition [4]

Plan słupa krawędziowego z wymiarowaniem

\( J_x = \dfrac{(h + d)d^3 + (h + d)^3 d}{12} + 2\left(b + \dfrac{d}{2}\right)d(e_2)^2 \)

\( J_y = \dfrac{(b + \dfrac{d}{2})d^3 + (b + \dfrac{d}{2})^3 d}{6} + \left(h + d\right) d(e_1)^2 + 2\left(b + \dfrac{d}{2}\right)d\left(\dfrac{b + \dfrac{d}{2}}{2 - e_1}\right)^2 \)

b = 12 in h = 16 in d = 8,5 in

e₁ = (h + d/2)² / (2h + b + 2d) = 4,63 in e₂ = (b + d)/ 2 = 12,25 in

I_x = 53125 in⁴ I_y = 15581 in⁴

Porównanie wyników

Jak wspomniano na początku artykułu, moment polarny bezwładności w RFEM 6 jest obliczany według podejścia z ACI 421.1R-20 [1]. W porównaniu z obliczeniami ręcznymi za pomocą wzorów analitycznych wyniki są nieco mniejsze, co wynika z pominięcia części bezwładności (dla geometrycznych kształtów prostokątnych części b*d³/6). Dzięki niższym momentom bezwładności wyniki obliczeń przebicia są po bezpiecznej stronie. Właściwą zaletą zaimplementowanego wzoru jest jednak jego uniwersalna stosowalność, uwzględniająca wszystkie kształty przekrojów i warunki geometryczne.