Momento polar / Momento de inercia para verificaciones de punzonamiento según ACI 318 y CSA A23.3

A continuación, se explica el método de cálculo según ACI 421.1R-20 [1] utilizando como ejemplo una columna interior rectangular. Más adelante se presentan los resultados de fórmulas analíticas y al final se comparan con los resultados de RFEM 6.

1. Fórmula según ACI 421.1R-20 – Ejemplo Columna Interior

\( J_x = d \sum\left[ \dfrac{l}{3} \cdot \left( y_i^2 + y_i y_{i+1} + y_{i+1}^2 \right) \right] \)

\( J_y = d \sum\left[ \dfrac{l}{3} \cdot \left( x_i^2 + x_i x_{i+1} + x_{i+1}^2 \right) \right] \)

Sistema Para el cálculo de los momentos de inercia se proporciona la sección transversal de la columna así como la altura estática del techo.

Vista en planta de pilar interior con acotación

• Sección transversal de la columna: b = 12 in
• Sección transversal de la columna: h = 16 in
• Altura estática del techo: d = 8,5 in

El corte crítico circular se encuentra a una distancia de 0,5d de los bordes de la sección. Para el cálculo del momento de inercia se necesitan las distancias de los puntos de esquina en el corte crítico al centro de masas del corte crítico.

Así se obtienen las siguientes coordenadas para los nodos de esquina.

• Punto 1 (-10,25 / 12,25)
• Punto 2 (10,25 / 12,25)
• Punto 3 (10,25 / -12,25)
• Punto 4 (-10,25 / -12,25)

En el siguiente ejemplo se calculan los momentos de inercia de manera ejemplar. Los valores de la fórmula y_i y x_i son las respectivas coordenadas de los puntos 1 a 4.

Las distancias de cada lado se determinan a partir de las coordenadas de distancia previamente obtenidas.

• l_1-2 = 20,5 in
• l_2-3 = 24,5 in
• l_3-4 = 20,5 in
• l_4-1 = 24,5 in

Cálculo del momento de inercia I_x:

I_x1 = d * [l_1-2/3 * (y₁² + y₁ * y₂ + y₂²)] I_x1 = 8,5 * [20,5/3 * (12,25² + 12,25 * 12,25 + 12,25²)] I_x1 = 26148 in⁴

I_x2 = d * [l_2-3/3 * (y₂² + y₂ * y₃ + y₃²)] I_x2 = 8,5 * [24,5/3 * (12,25² + 12,25 * -12,25 + (-12,25))²)] I_x2 = 10417 in⁴

I_x3 = d * [l_3-4/3 * (y₃² + y₃ * y₄ + y₄²)] I_x3 = 8,5 * [20,5/3 * ((-12,25)² - 12,25 * -12,25 + (-12,25)²)] I_x3 = 26148 in⁴

I_x4 = d * [l_4-1/3 * (y₄² + y₄ * y₁ + y₁²)] I_x4 = 8,5 * [24,5/3 * ((-12,25)² - 12,25 * 12,25 + 12,25)²)] I_x4 = 10417 in⁴

∑ I_x = 73130 in⁴

Cálculo del momento de inercia I_y:

I_y1 = d * [l_1-2/3 * (x₁² + x₁ * x₂ + x₂²)] I_y1 = 8,5 * [20,5/3 * ((-10,25)² - 10,25 * 10,25 + 10,25)²)] I_y1 = 6102 in⁴

I_y2 = d * [l_2-3/3 * (x₂² + x₂ * x₃ + x₃²)] I_y2 = 8,5 * [24,5/3 * (10,25² + 10,25 * 10,25 + 10,25²)] I_y2 = 21879 in⁴

I_y3 = d * [l_3-4/3 * (x₃² + x₃ * x₄ + x₄²)] I_y3 = 8,5 * [20,5/3 * (10,25² + 10,25 * -10,25 +(-10,25)²)] I_y3 = 6102 in⁴

I_y4 = d * [l_4-1/3 * (x₄² + x₄ * x₁ + x₁²)] I_y4 = 8,5 * [24,5/3 * ((-10,25)² - 10,25 * -10,25 + (-10,25)²)] I_y4 = 21879 in⁴

∑ I_y = 55962 in⁴

2. Comparación con fórmulas analíticas - Columna Interior

• 2.1 - Fórmula del ACI 318-19 [2], página 108

\( J_x = \dfrac{d(h + d)^3}{6} + \dfrac{d^3(h + d)}{6} + \dfrac{d(b + d)(h + d)^2}{2} \)

\( J_y = \dfrac{d(b + d)^3}{6} + \dfrac{d^3(b + d)}{6} + \dfrac{d(h + d)(b + d)^2}{2} \)

b = 12 in h = 16 in d = 8,5 in

I_x = 75638 in⁴ I_y = 58061 in⁴

• 2.2 - Fórmula de Lektüre Jordahl [3] USA, Inc. | Studrails | 03-2023

\( J_x = d \left( \dfrac{L_y^3 }{6} + \dfrac{L_x L_y^2}{2} \right) \)

\( J_y = d \left( \dfrac{L_x^3 }{6} + \dfrac{L_y L_x^2}{2} \right) \)

b = 12 in h = 16 in d = 8,5 in L_x = 20,5 in L_y = 24,5 in

I_x = 73130 in⁴ I_y = 55963 in⁴

3. Comparación con fórmulas analíticas - Columna de Borde

Las columnas de borde, debido a su ubicación en el borde de la placa, presentan una asimetría en el corte crítico circular. Esto desplaza el centro de masa y debe considerarse en el cálculo posterior.

• 3.1 - Fórmula del CAC Concrete Design Handbook - 4 ^th Edition [4]

Plano del pilar de borde con acotación

\( J_x = \dfrac{(h + d)d^3 + (h + d)^3 d}{12} + 2\left(b + \dfrac{d}{2}\right)d(e_2)^2 \)

\( J_y = \dfrac{(b + \dfrac{d}{2})d^3 + (b + \dfrac{d}{2})^3 d}{6} + \left(h + d\right) d(e_1)^2 + 2\left(b + \dfrac{d}{2}\right)d\left(\dfrac{b + \dfrac{d}{2}}{2 - e_1}\right)^2 \)

b = 12 in h = 16 in d = 8,5 in

e₁ = (h + d/2)² / (2h + b + 2d) = 4,63 in e₂ = (b + d)/ 2 = 12,25 in

I_x = 53125 in⁴ I_y = 15581 in⁴

Comparación de resultados

Como se mencionó al principio del artículo técnico, el momento de inercia polar en RFEM 6 se calcula según el enfoque de ACI 421.1R-20 [1]. En comparación con los cálculos manuales mediante las fórmulas analíticas, se obtienen valores ligeramente menores, esto se debe a la omisión de una parte del momento de inercia (en geometrías rectangulares, la parte de b*d³/6). Debido a los menores momentos de inercia, los resultados de la verificación al punzonamiento son conservadores. Sin embargo, la verdadera ventaja de la fórmula implementada radica en su aplicabilidad universal, pudiéndose considerar todas las formas de sección transversal y condiciones geométricas.