Polar Moment / Momento d'inerzia per verifiche a punzonamento secondo ACI 318 e CSA A23.3

Nel seguito viene illustrato il metodo di calcolo secondo ACI 421.1R-20 [1] attraverso un esempio di colonna interna rettangolare. Successivamente, vengono presentati i risultati delle formule analitiche e infine confrontati con i risultati di RFEM 6.

1. Formula secondo ACI 421.1R-20 – Esempio di colonna interna

\( J_x = d \sum\left[ \dfrac{l}{3} \cdot \left( y_i^2 + y_i y_{i+1} + y_{i+1}^2 \right) \right] \)

\( J_y = d \sum\left[ \dfrac{l}{3} \cdot \left( x_i^2 + x_i x_{i+1} + x_{i+1}^2 \right) \right] \)

Sistema Per il calcolo dei momenti di inerzia, sono forniti la sezione della colonna e l'altezza statica del solaio.

Pianta del pilastro interno con dimensioni

• Sezione della colonna: b = 12 in
• Sezione della colonna: h = 16 in
• Altezza statica del solaio: d = 8,5 in

La sezione critica si trova a una distanza di 0,5d dai bordi della sezione. Per calcolare il momento di inerzia, sono necessarie le distanze dei vertici della sezione critica rispetto al centro di massa di quest'ultima.

Da ciò derivano le seguenti coordinate per i nodi d'angolo.

• Punto 1 (-10,25 / 12,25)
• Punto 2 (10,25 / 12,25)
• Punto 3 (10,25 / -12,25)
• Punto 4 (-10,25 / -12,25)

Nel seguente esempio, i momenti di inerzia vengono calcolati in via esemplificativa. I valori delle formule y_i e x_i sono le rispettive coordinate dei punti da 1 a 4.

Le distanze di ciascun lato si determinano dalle coordinate delle distanze precedentemente stabilite.

• l_1-2 = 20,5 in
• l_2-3 = 24,5 in
• l_3-4 = 20,5 in
• l_4-1 = 24,5 in

Calcolo del momento d'inerzia I_x:

I_x1 = d * [l_1-2/3 * (y₁² + y₁ * y₂ + y₂²)] I_x1 = 8,5 * [20,5/3 * (12,25² + 12,25 * 12,25 + 12,25²)] I_x1 = 26148 in⁴

I_x2 = d * [l_2-3/3 * (y₂² + y₂ * y₃ + y₃²)] I_x2 = 8,5 * [24,5/3 * (12,25² + 12,25 * -12,25 + (-12,25))²)] I_x2 = 10417 in⁴

I_x3 = d * [l_3-4/3 * (y₃² + y₃ * y₄ + y₄²)] I_x3 = 8,5 * [20,5/3 * ((-12,25)² - 12,25 * -12,25 + (-12,25)²)] I_x3 = 26148 in⁴

I_x4 = d * [l_4-1/3 * (y₄² + y₄ * y₁ + y₁²)] I_x4 = 8,5 * [24,5/3 * ((-12,25)² - 12,25 * 12,25 + 12,25)²)] I_x4 = 10417 in⁴

∑ I_x = 73130 in⁴

Calcolo del momento d'inerzia I_y:

I_y1 = d * [l_1-2/3 * (x₁² + x₁ * x₂ + x₂²)] I_y1 = 8,5 * [20,5/3 * ((-10,25)² - 10,25 * 10,25 + 10,25)²)] I_y1 = 6102 in⁴

I_y2 = d * [l_2-3/3 * (x₂² + x₂ * x₃ + x₃²)] I_y2 = 8,5 * [24,5/3 * (10,25² + 10,25 * 10,25 + 10,25²)] I_y2 = 21879 in⁴

I_y3 = d * [l_3-4/3 * (x₃² + x₃ * x₄ + x₄²)] I_y3 = 8,5 * [20,5/3 * (10,25² + 10,25 * -10,25 +(-10,25)²)] I_y3 = 6102 in⁴

I_y4 = d * [l_4-1/3 * (x₄² + x₄ * x₁ + x₁²)] I_y4 = 8,5 * [24,5/3 * ((-10,25)² - 10,25 * -10,25 + (-10,25)²)] I_y4 = 21879 in⁴

∑ I_y = 55962 in⁴

2. Confronto con formule analitiche - Colonna interna

• 2.1 - Formula dal ACI 318-19 [2], pagina 108

\( J_x = \dfrac{d(h + d)^3}{6} + \dfrac{d^3(h + d)}{6} + \dfrac{d(b + d)(h + d)^2}{2} \)

\( J_y = \dfrac{d(b + d)^3}{6} + \dfrac{d^3(b + d)}{6} + \dfrac{d(h + d)(b + d)^2}{2} \)

b = 12 in h = 16 in d = 8,5 in

I_x = 75638 in⁴ I_y = 58061 in⁴

• 2.2 - Formula dalla lettura di Jordahl [3] USA, Inc. | Studrails | 03-2023

\( J_x = d \left( \dfrac{L_y^3 }{6} + \dfrac{L_x L_y^2}{2} \right) \)

\( J_y = d \left( \dfrac{L_x^3 }{6} + \dfrac{L_y L_x^2}{2} \right) \)

b = 12 in h = 16 in d = 8,5 in L_x = 20,5 in L_y = 24,5 in

I_x = 73130 in⁴ I_y = 55963 in⁴

3. Confronto con formule analitiche - Colonna esterna

Le colonne esterne, a causa della loro posizione rispetto al bordo della lastra, presentano un asimmetria del taglio critico. Ciò sposta il centro di massa che deve essere considerato nel calcolo.

• 3.1 – Formula dal CAC Concrete Design Handbook - 4 ^th Edition [4]

Piano di colonna marginale con quota

\( J_x = \dfrac{(h + d)d^3 + (h + d)^3 d}{12} + 2\left(b + \dfrac{d}{2}\right)d(e_2)^2 \)

\( J_y = \dfrac{(b + \dfrac{d}{2})d^3 + (b + \dfrac{d}{2})^3 d}{6} + \left(h + d\right) d(e_1)^2 + 2\left(b + \dfrac{d}{2}\right)d\left(\dfrac{b + \dfrac{d}{2}}{2 - e_1}\right)^2 \)

b = 12 in h = 16 in d = 8,5 in

e₁ = (h + d/2)² / (2h + b + 2d) = 4,63 in e₂ = (b + d)/ 2 = 12,25 in

I_x = 53125 in⁴ I_y = 15581 in⁴

Confronto dei risultati

Come già menzionato all'inizio dell'articolo tecnico, il momento di inerzia polare in RFEM 6 è calcolato secondo l'approccio di ACI 421.1R-20 [1]. A confronto con i calcoli manuali attraverso formule analitiche, emergono valori leggermente inferiori. Ciò è dovuto alla negligenza di una componente di inerzia (nel caso di geometrie rettangolari del termine b*d³/6). Grazie ai momenti di inerzia più piccoli, i risultati del progetto di punzonatura risultano conservativi. Il reale vantaggio della formula implementata sta però nella sua applicabilità universale, che consente di considerare tutte le forme di sezione e le condizioni geometriche.