Polares Moment / Trägheitsmoment für Durchstanznachweise im ACI 318 und CSA A23.3

Im Folgenden wird die Berechnungsmethode nach ACI 421.1R-20 [1] an einem rechteckigen Innenstützenbeispiel erläutert. Im Weiteren werden Ergebnisse analytischer Formeln dargestellt und am Ende mit den RFEM 6 Ergebnissen verglichen.

1. Formel nach ACI 421.1R-20 – Beispiel Innenstütze

\(
J_x = d \sum\left[ \dfrac{l}{3} \cdot \left( y_i^2 + y_i y_{i+1} + y_{i+1}^2 \right) \right]
\)

\(
J_y = d \sum\left[ \dfrac{l}{3} \cdot \left( x_i^2 + x_i x_{i+1} + x_{i+1}^2 \right) \right]
\)

System
Für die Berechnung der Trägheitsmomente sind der Stützenquerschnitt sowie die statische Höhe der Decke gegeben.

Grundriss Innenstütze mit Vermaßung

• Stützenquerschnitt: b = 12 in
• Stützenquerschnitt: h = 16 in
• Statische Höhe der Decke: d = 8,5 in

Der kritische Rundschnitt befindet sich in einem Abstand von 0,5d von den Querschnittsrändern entfernt. Für die Berechnung des Trägheitsmomentes werden die Abstände der Eckpunkte auf dem kritischen Rundschnitt zum Schwerpunkt des kritischen Rundschnittes benötigt.

Daraus ergeben sich für die Eckknoten folgende Koordinaten.

• Punkt 1 (-10,25 / 12,25)
• Punkt 2 (10,25 / 12,25)
• Punkt 3 (10,25 / -12,25)
• Punkt 4 (-10,25 / -12,25)

Im folgenden Beispiel werden die Trägheitsmomente exemplarisch berechnet. Die Formelwerte y_i sowie x_i sind die jeweiligen Koordinaten aus den Punkten 1 bis 4.

Die Abstände jeder Seite ermitteln sich aus den zuvor ermittelten Abstandskoordinaten.

• l_1-2 = 20,5 in
• l_2-3 = 24,5 in
• l_3-4 = 20,5 in
• l_4-1 = 24,5 in

Berechnung Flächenträgheitsmoment I_x:

I_x1 = d * [l_1-2/3 * (y₁² + y₁ * y₂ + y₂²)]
I_x1 = 8,5 * [20,5/3 * (12,25² + 12,25 * 12,25 + 12,25²)]
I_x1 = 26148 in⁴

I_x2 = d * [l_2-3/3 * (y₂² + y₂ * y₃ + y₃²)]
I_x2 = 8,5 * [24,5/3 * (12,25² + 12,25 * -12,25 + (-12,25))²)]
I_x2 = 10417 in⁴

I_x3 = d * [l_3-4/3 * (y₃² + y₃ * y₄ + y₄²)]
I_x3 = 8,5 * [20,5/3 * ((-12,25)² - 12,25 * -12,25 + (-12,25)²)]
I_x3 = 26148 in⁴

I_x4 = d * [l_4-1/3 * (y₄² + y₄ * y₁ + y₁²)]
I_x4 = 8,5 * [24,5/3 * ((-12,25)² - 12,25 * 12,25 + 12,25)²)]
I_x4 = 10417 in⁴

∑ I_x = 73130 in⁴

Berechnung Flächenträgheitsmoment I_y:

I_y1 = d * [l_1-2/3 * (x₁² + x₁ * x₂ + x₂²)]
I_y1 = 8,5 * [20,5/3 * ((-10,25)² - 10,25 * 10,25 + 10,25)²)]
I_y1 = 6102 in⁴

I_y2 = d * [l_2-3/3 * (x₂² + x₂ * x₃ + x₃²)]
I_y2 = 8,5 * [24,5/3 * (10,25² + 10,25 * 10,25 + 10,25²)]
I_y2 = 21879 in⁴

I_y3 = d * [l_3-4/3 * (x₃² + x₃ * x₄ + x₄²)]
I_y3 = 8,5 * [20,5/3 * (10,25² + 10,25 * -10,25 +(-10,25)²)]
I_y3 = 6102 in⁴

I_y4 = d * [l_4-1/3 * (x₄² + x₄ * x₁ + x₁²)]
I_y4 = 8,5 * [24,5/3 * ((-10,25)² - 10,25 * -10,25 + (-10,25)²)]
I_y4 = 21879 in⁴

∑ I_y = 55962 in⁴

2. Vergleich mit analytischen Formeln - Innenstütze

• 2.1 - Formel aus dem ACI 318-19 [2], Seite 108

\(
J_x = \dfrac{d(h + d)^3}{6} + \dfrac{d^3(h + d)}{6} + \dfrac{d(b + d)(h + d)^2}{2}
\)

\(
J_y = \dfrac{d(b + d)^3}{6} + \dfrac{d^3(b + d)}{6} + \dfrac{d(h + d)(b + d)^2}{2}
\)

b = 12 in
h = 16 in
d = 8,5 in

I_x = 75638 in⁴
I_y = 58061 in⁴

• 2.2 - Formel aus Lektüre Jordahl [3] USA, Inc. | Studrails | 03-2023

\(
J_x = d \left( \dfrac{L_y^3 }{6} + \dfrac{L_x L_y^2}{2} \right)
\)

\(
J_y = d \left( \dfrac{L_x^3 }{6} + \dfrac{L_y L_x^2}{2} \right)
\)

b = 12 in
h = 16 in
d = 8,5 in
L_x = 20,5 in
L_y = 24,5 in

I_x = 73130 in⁴
I_y = 55963 in⁴

3. Vergleich mit analytischen Formeln - Randstütze

Randstützen erhalten durch Ihre Lage zum Plattenrand eine Unsymmetrie des kritischen Rundschnittes. Dadurch verschiebt sich der Schwerpunkt und muss in der weiteren Berechnung berücksichtigt werden.

• 3.1 - Formel aus CAC Concrete Design Handbook - 4 ^th Edition [4]

Grundriss Randstütze mit Vermaßung

\(
J_x = \dfrac{(h + d)d^3 + (h + d)^3 d}{12} + 2\left(b + \dfrac{d}{2}\right)d(e_2)^2
\)

\(
J_y = \dfrac{(b + \dfrac{d}{2})d^3 + (b + \dfrac{d}{2})^3 d}{6} + \left(h + d\right) d(e_1)^2 + 2\left(b + \dfrac{d}{2}\right)d\left(\dfrac{b + \dfrac{d}{2}}{2 - e_1}\right)^2
\)

b = 12 in
h = 16 in
d = 8,5 in

e₁ = (h + d/2)² / (2h + b + 2d) = 4,63 in
e₂ = (b + d)/ 2 = 12,25 in

I_x = 53125 in⁴
I_y = 15581 in⁴

Ergebnisvergleich

Wie bereits am Anfang des Fachbeitrages erwähnt wird das polare Trägheitsmoment in RFEM 6 nach dem Ansatz aus ACI 421.1R-20 [1] berechnet. Im Vergleich zu den Handrechnungen mittels der analytischen Formeln kommen geringfügig geringe Werte heraus, dies liegt an der Vernachlässigung eines Trägheitsanteils (bei rechteckförmigen Geometrien der b*d³/6 Anteil). Durch die geringeren Trägheitsmomente liegen die Ergebnisse der Durchstanzbemessung auf der sicheren Seite. Der eigentliche Vorteil der implementierten Formel liegt jedoch an der universellen Anwendbarkeit, alle Querschnittsformen und geometrischen Gegebenheiten können berücksichtigt werden.