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006245

Sonja von Bloh, M.Sc.

2026-09-29

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Análise de elementos finitos
- Propriedades de secção transversal

Objetos auxiliares

Programa funções No inglês, preste atenção especial ao uso correto de minúsculas em palavras que obviamente não são nomes próprios.

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Avaliação de resultados

Relatório de impressão

Propriedades de secção transversal

Área de secção transversal

É feita a distinção entre a área geométrica e a área ideal da secção transversal. A área geométrica da secção transversal corresponde à área real da secção e é independente das propriedades do material. A área ideal da secção transversal considera, pelo contrário, as diferentes rigidezes dos materiais, por exemplo, em secções mistas.

A área ideal da secção transversal é referida a um material de referência com o módulo de elasticidade E_ref:

A = \frac{1}{E_{ref}} \int_{A} E ​ d A

Elastizitätsmodul am Flächenpunkt	Módulo de elasticidade no ponto de superfície
E_ref	Módulo de elasticidade do material de referência

Área de secção transversal A

A área geométrica da secção transversal resulta de:

A_{g e o m} = \int_{A} d A

Área geométrica da secção transversal A_geom

Posição do centro de gravidade elástico

As coordenadas e_y e e_z descrevem a posição do centro de gravidade elástico relativamente à origem do sistema de coordenadas global na direção Y ou Z. O centro de gravidade elástico é determinado considerando as rigidezes dos materiais. As suas coordenadas resultam das integrais de área ponderadas pelo módulo de elasticidade:

e_{y} = \frac{\int_{A} E \cdot Y ​ d A}{\int_{A} E ​ d A}

E_ref	Coordenada Y do ponto de superfície referida ao ponto zero
E	Módulo de elasticidade no ponto de superfície

Localização do centro elástico na direção Y e_y em relação ao ponto de origem

e_{z} = \frac{\int_{A} E \cdot Z ​ d A}{\int_{A} E ​ d A}

y	Coordenada Z do ponto de superfície referida ao ponto zero
E	Módulo de elasticidade no ponto de superfície

Posição do centro elástico de gravidade na Direção Z e_z referida ao ponto de origem

Momentos de inércia de área

Os momentos de inércia de área I_y e I_z referem-se ao sistema de coordenadas local y, z. A origem do sistema de coordenadas local situa-se no centro de gravidade elástico. Os seus eixos decorrem paralelamente aos eixos globais Y e Z.

I_{y} = \frac{1}{E_{ref}} \int_{A} E \cdot {(Z - e_{z})}^{2} ​ d A

E_ref	Módulo de elasticidade do material de referência
e_z	Posição do centro elástico na direção Z em relação ao ponto de origem
E	Módulo de elasticidade no ponto de superfície
z	Coordenada Z do ponto de superfície referida ao ponto zero

Momento de inércia de área em relação ao Eixo Y I_y

I_{z} = \frac{1}{E_{ref}} \int_{A} E \cdot {(Y - e_{y})}^{2} ​ d A

E_ref	Módulo de elasticidade do material de referência
e_y	Posição do centro de gravidade elástico na direção y em relação ao ponto zero
E	Módulo de elasticidade no ponto de superfície
z	Coordenada Y do ponto de superfície em relação ao ponto zero

Momento de inércia de área em relação ao eixo z I_z

Os momentos de inércia de área I_u e I_v referem-se aos eixos principais u e v. Estes eixos passam pelo centro de gravidade elástico e estão rodados em relação ao sistema de coordenadas local y, z pelo ângulo dos eixos principais α.

I_{u} = \frac{I_{y} + I_{z}}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{{(I_{y} - I_{z})}^{2} + 4 \cdot I_{y z}^{2}}

I_y, I_z	Momento de inércia de área em torno do Eixo Y ou Eixo Z
I_yz	Momento centrífugo em relação aos eixos y,z

Momento de inércia de área em torno do eixo u I_u

I_{v} = \frac{I_{y} + I_{z}}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{{(I_{y} - I_{z})}^{2} + 4 \cdot I_{y z}^{2}}

I_y, I_z	Momento de inércia de área em torno do eixo y ou do eixo z
I_yz	Momento centrífugo em relação aos eixos y,z

Momento de inércia de área em relação ao eixo v I_v

Em secções transversais compostas por várias subsecções transversais não ligadas, os momentos de inércia de área são somados sem considerar a parcela de Steiner.

Momento centrífugo

O momento centrífugo I_yz refere-se ao sistema de coordenadas local y, z. A origem do sistema de coordenadas local situa-se no centro de gravidade elástico. Os seus eixos decorrem paralelamente aos eixos globais Y e Z.

O momento centrífugo da secção transversal ideal resulta de:

I_{y z} = \frac{1}{E_{ref}} \int_{A} E \cdot (Y - e_{y}) \cdot (Z - e_{z}) ​ d A

E_ref	Módulo de elasticidade do material de referência
E	Módulo de elasticidade no ponto de superfície
e_y, e_z	Coordenadas do centro de gravidade elástico referidas ao ponto de origem
Y, Z	Coordenadas do ponto de superfície em relação ao ponto zero

Momento centrífugo em relação aos eixos y,z I_y,z

Momentos de inércia de área polares

O momento de inércia de área polar I_p refere-se ao centro de gravidade e resulta da soma dos dois momentos de inércia de área principais:

I_{p} = I_{u} + I_{v}

I_u, I_v

Momento de inércia de área em torno do eixo u ou v

Momento de inércia polar da área I_p

O momento de inércia de área polar I_p,SC refere-se ao centro de corte.

I_{p, S C} = I_{p} + A \cdot (u_{S C}^{2} + v_{S C}^{2})

I_u, I_v	momento de inércia de área em relação ao eixo u ou v
A	Área de secção transversal
u_SC, v_SC	Coordenada do centro de cisalhamento em relação ao centro de gravidade elástico na Direção u ou v

Momento de inércia polar em relação ao centro de corte I_p,SC

Inclinação dos eixos principais

O ângulo α descreve a rotação do sistema de eixos principais u, v em relação ao sistema de coordenadas local y, z.

α = \frac{1}{2} \cdot arctan (\frac{-2 \cdot I_{y z}}{I_{y} - I_{z}})

I_yz	Momento centrífugo em relação aos eixos y,z
I_y, I_z	Momento de inércia de área em relação ao eixo y ou z

Inclinação dos eixos principais α

Raios de giração

O raio de giração descreve a distribuição da área da secção transversal em relação a um eixo de referência. Resulta da raiz quadrada do quociente entre o momento de inércia de área correspondente e a área da secção transversal.

i_{y} = \sqrt{\frac{I_{y}}{A}}

I_y	Momento de inércia de área em torno do Eixo Y
A	Área de secção transversal

Raio de giração em torno do Eixo Y i_y

i_{z} = \sqrt{\frac{I_{z}}{A}}

I_z	momento de inércia de área em torno do eixo z
A	Área de secção transversal

Raio de giração em torno do eixo Z i_z

i_{y z} = \sqrt{\frac{I_{y z}}{A}}

I_yz	Momento centrífugo em torno dos eixos y,z
A	Área de secção transversal

Raio de giração em torno dos eixos y,z i_yz

i_{u} = \sqrt{\frac{I_{u}}{A}}

I_u	momento de inércia de área em relação ao eixo u
A	Área de secção transversal

Raio de giração em torno do eixo u i_u

i_{v} = \sqrt{\frac{I_{v}}{A}}

I_v	momento de inércia de área em torno do eixo v
A	Área de secção transversal

Raio de giração em torno do eixo v i_v

i_{p} = \sqrt{\frac{I_{p}}{A}}

I_p	Momento de inércia polar da área
A	Área de secção transversal

Raio de inércia polar i_p

i_{p, S C} = \sqrt{\frac{I_{p, S C}}{A}}

I_p,SC	Momento de inércia polar em relação ao centro de corte
A	Área de secção transversal

Raio de inércia polar referido ao centro de corte i_p,SC

Módulo de secção elástico

Os módulos de secção elásticos W_y,min, W_y,max, W_z,min, W_z,max, W_y e W_z referem-se ao sistema de coordenadas local y, z. A origem do sistema de coordenadas local situa-se no centro de gravidade elástico. Os seus eixos decorrem paralelamente aos eixos globais Y e Z.

W_{y, min} = \frac{I_{y} \cdot I_{z} - I_{y z}^{2}}{I_{z} \cdot z_{min} - I_{y z} \cdot y (z_{min})}

I_y, I_z	Momento de inércia de área em torno do eixo y ou do eixo z
I_yz	Momento centrífugo em relação aos eixos y,z
z_min	Ordenada mínima na direção z local
y(z_min)	Coordenada y do mesmo ponto da secção correspondente à ordenada z_min

Módulo de resistência elástico em relação ao Eixo Y W_y,min

W_{y, m a x} = \frac{I_{y} \cdot I_{z} - I_{y z}^{2}}{I_{z} \cdot z_{m a x} - I_{y z} \cdot y (z_{m a x})}

I_y, I_z	Momento de inércia de área em torno do eixo y ou eixo z
I_yz	Momento centrífugo em relação aos eixos y,z
z_max	Ordenada máxima na direção z local
y(z_max)	Coordenada y do mesmo ponto da secção correspondente à ordenada z_max

Módulo de resistência elástico em torno do Eixo Y W_y,max

W_{z, min} = \frac{I_{y} \cdot I_{z} - I_{y z}^{2}}{I_{y} \cdot y_{min} - I_{y z} \cdot z (y_{min})}

I_y, Iz	Momento de inércia de área em relação ao eixo y ou z
I_yz	Momento centrífugo em relação aos eixos y,z
y_min	Ordenada mínima na direção y local
z(y_min)	Coordenada z do mesmo ponto da secção transversal pertencente à ordenada y_min

Módulo de resistência elástico em torno do Eixo Z W_z,min

W_{z, m a x} = \frac{I_{y} \cdot I_{z} - I_{y z}^{2}}{I_{y} \cdot y_{m a x} - I_{y z} \cdot z (y_{m a x})}

I_y, I_z	momento de inércia de área em relação ao eixo y ou eixo z
I_yz	Momento centrífugo em relação aos eixos y,z
y_max	Ordenada máxima na direção local y
z(y_max)	Coordenada z do mesmo ponto da secção correspondente à ordenada y_max

Módulo de resistência elástico em torno do eixo Z W_z,max

W_{y} = m i n (|W_{y, m i n}|, |W_{y, m a x}|)

W_y,min	maior momento de resistência elástico negativo em torno do Eixo Y
W_y,max	menor momento resistente elástico positivo em relação ao Eixo Y

Módulo de resistência elástico em relação ao eixo Y W_y

W_{z} = m i n (|W_{z, m i n}|, |W_{z, m a x}|)

W_z,min	maior momento resistente elástico negativo em relação ao eixo Z
W_z,max	menor momento de resistência elástico positivo em relação ao eixo Z

Módulo de resistência elástico em torno do eixo Z W_z

Os módulos de secção elásticos W_u,min, W_u,max, W_v,min, W_v,max, W_u e W_v referem-se aos eixos principais u e v.

W_{u, m i n} = \frac{I_{u}}{v_{m i n}}

I_u	momento de inércia de área em relação ao eixo u
v_min	Ordenada mínima na direção v

Módulo resistente elástico em torno do eixo u W_u,min

W_{u, m a x} = \frac{I_{u}}{v_{m a x}}

I_u	Momento de inércia de área em relação ao eixo u
v_max	Ordenada máxima na direção v

Módulo de resistência elástico em torno do eixo u W_u,max

W_{v, m i n} = \frac{I_{v}}{u_{m i n}}

I_v	Momento de inércia de área em torno do eixo v
u_min	Ordenada mínima na direção u

Módulo resistente elástico em torno do eixo v W_v,min

W_{v, m a x} = \frac{I_{v}}{u_{m a x}}

I_v	Momento de inércia de área em torno do eixo v
u_max	Ordenada máxima na direção v

Módulo resistente elástico em torno do eixo v W_v,max

W_{u} = m i n (|W_{u, m i n}|, |W_{u, m a x}|)

W_u,min	maior módulo de resistência elástico negativo em torno do eixo u
W_u,max	menor módulo de resistência elástico positivo em torno do eixo u

Módulo de resistência elástico em torno do eixo u W_u

W_{v} = m i n (|W_{v, m i n}|, |W_{v, m a x}|)

W_v,min	maior módulo de resistência elástico negativo em relação ao eixo v
W_v,max	menor módulo de resistência elástico positivo em torno do eixo v

Módulo resistente elástico em torno do eixo v W_v

Áreas de corte

As áreas de corte são determinadas a partir da solução de elementos finitos do problema de torção de Saint-Venant. A partir de três estados unitários calculados da função de deplanamento, é estabelecida a matriz de rigidez de corte e torção D. Esta matriz relaciona a torção da secção transversal, bem como as distorções de corte médias, com o momento de torção primário e as forças de corte:

\{\begin{matrix} M_{x p} \\ V_{y} \\ V_{z} \end{matrix}\} = D \{\begin{matrix} ϑ \\ γ_{y} \\ γ_{z} \end{matrix}\}, ϑ = \frac{d θ}{d x}

M_xp	Momento de torção primário
V_y, V_z	Forças de corte na direção do eixo y ou do eixo z
θ	Ângulo de rotação da secção transversal
ϑ	Torção por unidade de comprimento
γ_y, γ_z	Deformações médias de distorção por cisalhamento

Relação entre rigidez ao corte e rigidez de torção

Áreas de corte no sistema de coordenadas local y, z

A partir das entradas diagonais D₂₂ e D₃₃ da matriz de rigidez D, resultam as áreas de corte no sistema de coordenadas local:

A_{y} = \frac{1}{G_{ref}} \cdot D_{22}

G_ref	Módulo de corte do material de referência
D₂₂	coeficiente de rigidez da matriz de rigidez de corte-torção D

área de corte na direção y

A_{z} = \frac{1}{G_{ref}} \cdot D_{33}

G_ref	Módulo de corte do material de referência
D₃₃	Coeficiente de rigidez da matriz de rigidez de corte-torção D

área de corte na direção Z

Áreas de corte no sistema de eixos principais u, v

Transformado nos eixos principais u, v, a componente de corte transversal da matriz de rigidez transforma-se através da seguinte relação:

A_{s} = S \cdot D_{2 : 3, 2 : 3} \cdot S^{⊤}

S	Matriz de rotação
D	Matriz diagonal

Matriz dos eixos principais A_s

A matriz de rotação S é definida através da inclinação dos eixos principais α:

S = [\begin{matrix} \cos α & \sin α \\ - \sin α & \cos α \end{matrix}]

α	Inclinação dos eixos principais

Matriz de rotação S

A partir dos elementos diagonais A_s,11 e A_s,22 da matriz transformada As, são finalmente calculadas as áreas de corte no sistema de eixos principais:

A_{u} = \frac{1}{G_{ref}} \cdot A_{s, 11}

G_ref	Módulo de corte do material de referência
A_s,11	Elemento da diagonal da matriz dos eixos principais A_s

área de corte na direção u A_u

A_{v} = \frac{1}{G_{ref}} \cdot A_{s, 22}

G_ref	Módulo de corte do material de referência
A_s,22	Elemento da diagonal da matriz dos eixos principais A_s

Área de corte na direção v A_v

Posição do centro de corte

O centro de corte é o ponto no plano da secção transversal pelo qual a linha de ação de uma força de corte deve passar para que não surja uma rotação adicional da barra. Inversamente, um momento de torção puro aplicado no centro de corte provoca uma torção sem flexão adicional por força de corte. Em relação ao centro de corte, o momento resultante das tensões de corte devidas à força de corte é igual a zero. Se a matriz de rigidez de corte-torção D derivada na secção anterior for referida ao centro de corte, os termos de acoplamento correspondentes entre força de corte e torção deixam de existir devido a esta desacoplagem mecânica:

D₁₂=D₂₁=0 e D₁₃=D₃₁=0

Coordenadas do centro de corte no sistema de coordenadas local y, z

As coordenadas do centro de corte y_SC e z_SC são determinadas de forma que esta condição seja cumprida. As coordenadas calculadas referem-se ao centro de gravidade elástico da secção transversal.

Coordenadas do centro de corte no sistema de eixos principais u, v

A transformação das coordenadas determinadas do sistema local y,z para o sistema de eixos principais u, v é feita geometricamente através da inclinação dos eixos principais α com a ajuda das seguintes equações de transformação:

u_{S C} = y_{S C} \cdot \cos (α) + z_{S C} \cdot \sin (α)

y_SC, z_SC	Coordenada do centro de cisalhamento em relação ao centro de gravidade elástico na direção y ou z
α	Inclinação dos eixos principais

Coordenada do ponto de cisalhamento em relação ao centro de gravidade elástico na direção u u_SC

v_{S C} = - y_{S C} \cdot \sin (α) + z_{S C} \cdot \cos (α)

y_SC, z_SC	Coordenada do centro de cisalhamento referida ao centro elástico na direção y ou z
α	Inclinação dos eixos principais

Coordenada do centro de cisalhamento referida ao centro elástico na Direção v, v_SC

As coordenadas calculadas referem-se ao centro de gravidade elástico da secção transversal.

Momento de inércia de torção

O momento de inércia de torção I_t descreve a resistência geométrica da secção transversal contra uma torção pura (torção). O momento de inércia de torção é determinado a partir da solução de elementos finitos do problema de torção de Saint-Venant. O cálculo do momento de inércia de torção é realizado considerando o deplanamento da secção transversal (empenamento) através da seguinte relação integral:

I_{t} = I_{p} - \int_{A} ((Z - e_{z}) \cdot ω_{, y} - (Y - e_{y}) \cdot ω_{, z}) d A

I_p	Momento polar de inércia de área
ω_,y, ω_,z	Derivadas parciais da função de deformação em relação às coordenadas locais y e z
Y, Z	Coordenadas do ponto de superfície em relação ao ponto zero
A	Área de secção transversal
e_y, e_z	Coordenadas do centro de gravidade elástico referidas ao ponto de origem

Momento de inércia de torção I_t

Módulo de secção de torção

O módulo de secção de torção calcula-se a partir do quociente entre o momento de torção unitário primário M_xp=1 e a tensão de corte de torção resultante máxima devida à torção livre:

W_{t} = \frac{M_{x p}}{max τ (M_{x p})}

M_xp	Momento de torção primário
maxτ(M_xp)	Tensão de corte máxima devida ao momento de torção primário

Módulo de secção de torção W_t

Para o cálculo é utilizado o máximo dos valores de tensão não suavizados nos nós dos elementos finitos. Na visualização gráfica de resultados, as tensões são, por padrão, suavizadas, calculando-se a média dos valores dos elementos adjacentes nos nós comuns. Desta forma, podem ser reduzidos picos de tensão locais.

A tensão máxima da visualização gráfica de resultados pode, portanto, diferir da tensão determinante para o cálculo de W_t. Uma retrocálculo com base no máximo de tensão representado não resulta, portanto, necessariamente no valor indicado para W_t.

Resistência ao empenamento referida ao centro de corte

A resistência ao empenamento descreve a resistência da secção transversal contra deformações de empenamento. O parâmetro característico da secção transversal calcula-se através da seguinte integral da função de deplanamento quadrática ponderada pelo material ω referida ao centro de corte:

I_{ω} = \frac{1}{E_{ref}} \cdot \int_{A} E \cdot {ω_{S C}}^{2} d A

E_ref	Módulo de elasticidade do material de referência
ω_SC	Coordenada de empenamento no ponto de superfície referida ao centro de corte
A	Área de secção transversal

Resistência ao empenamento referida ao centro de corte I_ω

Raio de giração de empenamento referido ao centro de corte

O raio de giração de empenamento calcula-se a partir da resistência ao empenamento e do momento de inércia de área polar. É referido ao centro de corte.

i_{ω} = \sqrt{\frac{I_{ω}}{I_{p, S C}}}

I_ω	Resistência ao empenamento referida ao centro de corte
I_p,SC	Momento de inércia polar em relação ao centro de corte

Raio de inércia de empenamento referido ao centro de corte i_ω

Módulo de empenamento referido ao centro de corte

O módulo de empenamento calcula-se como quociente entre a resistência ao empenamento referida ao centro de corte e o valor máximo da coordenada de empenamento correspondente.

W_{ω} = \frac{I_{ω}}{m a x ω}

I_ω	Resistência ao empenamento em relação ao centro de corte
max ω	Coordenada máxima de empenamento referida ao centro de corte

Módulo de empenamento em relação ao centro de corte W_ω

Parâmetro de assimetria da secção transversal

O parâmetro de assimetria da secção transversal considera a influência de uma geometria de secção transversal simplesmente simétrica ou assimétrica no momento crítico elástico para encurvadura por flexão-torção e, consequentemente, no comportamento de encurvadura por flexão-torção.

Parâmetro de assimetria da secção transversal referido ao centro de gravidade elástico

r_{y} = \frac{1}{I_{y} \cdot E_{r e f}} \int_{A} E \cdot (Z - e_{z}) \cdot ({(Y - e_{y})}^{2} + {(Z - e_{z})}^{2}) d A

E_ref	Módulo de elasticidade do material de referência
I_y	Momento de inércia de área em torno do Eixo Y
A	Área de secção transversal
E	Módulo de elasticidade no ponto de superfície
Y, Z	Coordenadas do ponto de superfície referidas ao ponto zero
e_y, e_z	Coordenadas do centro de gravidade elástico relativamente ao ponto zero

Parâmetro de assimetria da secção transversal em relação ao centro de gravidade elástico r_y

r_{z} = \frac{1}{I_{z} \cdot E_{r e f}} \int_{A} E \cdot (y - e_{y}) \cdot ({(Y - e_{y})}^{2} + {(Z - e_{z})}^{2}) d A

E_ref	Módulo de elasticidade do material de referência
I_y	Momento de inércia de área em torno do Eixo Y
A	Área de secção transversal
E	Módulo de elasticidade no ponto de superfície
Y, Z	Coordenadas do ponto de superfície em relação ao ponto zero
e_y, e_z	Coordenadas do centro de gravidade elástico em relação ao ponto de origem

Parâmetro de assimetria da secção transversal referido ao centro de gravidade elástico r_z

r_{u} = \frac{1}{I_{u}} \cdot (r_{y} \cdot I_{y} \cdot cos α - r_{z} \cdot I_{z} \cdot sin α)

I_u	momento de inércia de área em torno do eixo u
r_y, r_z	Parâmetro de assimetria da seção transversal referido ao centro de gravidade elástico
I_y, I_z	Momento de inércia de área em relação ao Eixo Y ou ao Eixo Z
α	Inclinação dos eixos principais

Parâmetro de assimetria da secção transversal em relação ao centro de gravidade elástico r_u

r_{v} = \frac{1}{I_{v}} \cdot (r_{y} \cdot I_{y} \cdot sin α + r_{z} \cdot I_{z} \cdot cos α)

I_v	momento de inércia de área em torno do eixo v
r_y, r_z	Parâmetro de assimetria da secção transversal em relação ao centro de gravidade elástico
I_y, I_z	Momento de inércia de área em relação ao eixo y ou z
α	Inclinação dos eixos principais

Parâmetro de assimetria da secção transversal relativamente ao centro elástico r_v

Parâmetro de assimetria da secção transversal referido ao centro de corte

r_{y, S C} = r_{z} - 2 \cdot y_{S C}

r_z	Parâmetro de assimetria da secção transversal em relação ao centro de gravidade elástico
y_SC	Coordenada do centro de torção referida ao centro de gravidade elástico na direção y

Parâmetro de assimetria da seção transversal em relação ao centro de corte r_y,SC

r_{z, S C} = r_{y} - 2 \cdot z_{S C}

r_y	Parâmetro de assimetria da secção transversal em relação ao centro de gravidade elástico
z_SC	Coordenada do centro de cisalhamento em relação ao centro de gravidade elástico na Direção Z

Parâmetro de assimetria da secção transversal relativamente ao centro de corte r_z,SC

r_{u, S C} = r_{v} - 2 \cdot u_{S C}

r_v	Parâmetro de assimetria da secção transversal referido ao centro de gravidade elástico
u_SC	Coordenada do centro de cisalhamento em relação ao centroide elástico na direção u

Parâmetro de assimetria da seção transversal em relação ao centro de corte r_u,SC

r_{v, S C} = r_{u} - 2 \cdot v_{S C}

r_u	Parâmetro de assimetria da secção transversal referido ao centro de gravidade elástico
v_SC	Coordenada do centro de distorção em relação ao centro de gravidade elástico na direção v

Parâmetro de assimetria da seção transversal em relação ao centro de corte r_v,SC

Valor auxiliar para a rotação de empenamento referida ao centro de corte

O valor auxiliar para a rotação de empenamento é uma grandeza auxiliar para descrever a distribuição de empenamento de uma secção transversal em relação ao centro de corte.

r_{ω, S C} = \frac{1}{I_{ω} \cdot E_{r e f}} \cdot \int_{A} E \cdot ω_{S C} \cdot [{(Y - e_{y} - y_{S C})}^{2} + {(Z - e_{z} - z_{S C})}^{2}] d A

I_ω	Resistência ao empenamento referida ao centro de corte
E_ref	Módulo de elasticidade do material de referência
E	Módulo de elasticidade no ponto de superfície
ω_SC	Coordenada de empenamento no ponto de superfície referida ao centro de corte
Y, Z	Coordenadas do ponto da superfície referidas ao ponto de origem
e_y, e_z	Coordenadas do centro elástico em relação ao ponto de origem
y_SC, z_SC	Coordenadas do centro de cisalhamento referidas ao centro de gravidade elástico
A	Área de secção transversal

Valor auxiliar de voltaortuação em relação ao centro de corte r_ωSC

Módulos de secção plásticos

Na determinação dos módulos de secção plásticos, somam-se os módulos dos momentos estáticos da zona de tração e da zona de compressão referidos ao eixo neutro plástico.

W_{p l, y} = | S_{t, y} | + | S_{c, y} |

S_t,y	Momento estático da zona de tração referido ao eixo neutro plástico
S_c,y	Momento estático da zona de compressão em relação ao eixo neutro plástico.

Módulo de secção plástico em torno do Eixo Y W_pl,y

W_{p l, z} = | S_{t, z} | + | S_{c, z} |

S_t,z	Momento estático da zona de tração em relação ao eixo neutro plástico
S_c,z	Momento estático da zona de compressão em relação ao eixo neutro plástico.

Módulo de secção plástico em torno do Eixo Z W_pl,z

W_{p l, u} = | S_{t, u} | + | S_{c, u} |

S_t,u	Momento estático da zona de tração referente ao eixo neutro plástico
S_c,u	Momento estático da zona de compressão referido ao eixo neutro plástico.

Módulo de secção plástico em torno do eixo u W_pl,u

W_{p l, v} = | S_{t, v} | + | S_{c, v} |

S_t,v	Momento estático da zona de tração referido ao eixo neutro plástico
S_c,v	Momento estático da zona de compressão em relação ao eixo neutro plástico.

Módulo de secção plástico em torno do eixo v W_pl,v

Fator de forma plástico

O fator de forma plástico descreve a reserva plástica da secção transversal em relação às capacidades de carga limite elásticas.

α_{p l, y} = \frac{W_{p l, y}}{W_{e l, y}}

W_pl,y	módulo de secção plástico em torno do Eixo Y
W_el,y	Módulo de resistência elástico em relação ao Eixo Y

Coeficiente de forma plástico em torno do eixo y α_pl,y

α_{p l, z} = \frac{W_{p l, z}}{W_{e l, z}}

W_pl,z	Módulo de secção plástico em torno do Eixo Z
W_el,z	Módulo de resistência elástico em relação ao eixo z

Coeficiente de forma plástico em torno do Eixo Z α_pl,z

α_{p l, u} = \frac{W_{p l, u}}{W_{e l, u}}

W_pl,u	Módulo de secção plástico em relação ao eixo u
W_el,u	Módulo de resistência elástico em torno do eixo u

Fator de forma plástico em torno do eixo u α_pl,u

α_{p l, v} = \frac{W_{p l, v}}{W_{e l, v}}

W_pl,v	módulo de secção plástico em torno do eixo v
W_el,v	Módulo de secção elástico em torno do eixo v

Fator de forma plástico em relação ao eixo v α_pl,v

Posição do eixo neutro plástico

A posição do eixo neutro plástico é determinada pelo equilíbrio de forças axial. No estado teoricamente totalmente plástico, as forças de tração e de compressão resultantes devem ser iguais em módulo. Estas resultam da integração dos respetivos limites de elasticidade sobre as áreas de secção transversal correspondentes.

\int_{A_{t}} f_{y t} d A = \int_{A_{c}} f_{y c} d A

A_t	Área de secção transversal sob tração
A_c	Área de secção transversal sob pressão
f_yt	Limite de elasticidade sob tração
f_yc	limite elástico à compressão
A	Área de secção transversal

Posição do eixo neutro plástico

Posição do eixo neutro plástico no sistema de coordenadas local y, z

As coordenadas y_pl e z_pl descrevem a posição dos eixos neutros plásticos relativamente ao centro de gravidade elástico da secção transversal no sistema de coordenadas local y, z. A coordenada y_pl indica a posição do eixo neutro plástico que decorre paralelamente ao eixo z local. A coordenada z_pl indica a posição do eixo neutro plástico que decorre paralelamente ao eixo y local.

Posição do eixo neutro plástico no sistema de eixos principais u, v

As coordenadas u_pl e v_pl descrevem a posição dos eixos neutros plásticos relativamente ao centro de gravidade elástico da secção transversal no sistema de eixos principais u, v. O eixo neutro plástico paralelo ao eixo principal v passa pela coordenada u_pl. O eixo neutro plástico paralelo ao eixo principal u passa pela coordenada v_pl.

Peso

O peso descreve o peso da secção transversal por unidade de comprimento. Resulta da integração do peso específico sobre a área da secção transversal:

G = \int_{A} γ d A

γ	Peso específico
A	Área de secção transversal

Peso G

Posição do centro de massa

As coordenadas do centro de massa são indicadas relativamente ao centro de gravidade elástico da secção transversal. Resultam dos momentos estáticos ponderados pela respetiva densidade do material, divididos pela massa total por unidade de comprimento:

y_{C G} = \frac{\int_{A} γ \cdot y d A}{\int_{A} γ d A}

γ	Peso específico do material do respetivo elemento de superfície
y, z	Coordenada y do elemento de superfície referida ao centro de gravidade elástico
A	Área de secção transversal

Coordenada do centro de massa referida ao centro elástico na direção y y_CG

z_{C G} = \frac{\int_{A} γ \cdot z d A}{\int_{A} γ d A}

γ	Peso específico do material do respetivo elemento de superfície
y	Coordenada z do elemento de superfície em relação ao centro de gravidade elástico
A	Área de secção transversal

Coordenada do centro de massa em relação ao centro elástico na direção Z z_CG

Superfície por unidade de comprimento

A superfície por unidade de comprimento descreve o perímetro exterior da secção transversal que está exposto a uma ação térmica direta do exterior.

Volume

O volume descreve o volume espacial da secção transversal em relação a uma unidade de comprimento. Para uma unidade de comprimento, corresponde à área da secção transversal geométrica A_geom.

Fator de perfil

O fator de perfil descreve a relação entre a superfície do elemento exposta ao fogo e o volume do elemento por unidade de comprimento. O cálculo é realizado através do quociente entre a superfície por unidade de comprimento e o volume: A_m / V.

Capítulo principal

Análise de elementos finitos