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Dipl.-Ing. Frank Faulstich

2023-12-14

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Comportamento non lineare del materiale

Modelli di materiale

Se nelle Impostazioni di base del modello l'add-on di analisi Comportamento del materiale nonlineare è attivato (è richiesta una licenza), oltre ai modelli di materiale Isotropo | Elastico lineare e Ortotropo | Elastico lineare nella lista dei modelli di materiale sono disponibili ulteriori opzioni tra cui scegliere.

Modelli di materiale per l'Add-On di analisi 'Comportamento non lineare del materiale'

Metodo di calcolo

Se si utilizza un modello di materiale nonlineare, viene sempre eseguito un calcolo iterativo. A seconda del modello di materiale viene definita una diversa relazione tra tensioni e deformazioni.

La rigidezza degli elementi finiti viene adattata ripetutamente nel corso delle iterazioni, finché la relazione tensioni-deformazioni è rispettata. L'adattamento avviene sempre per un intero elemento di superficie o elemento solido. Per l'analisi delle tensioni dovrebbe quindi essere utilizzato sempre il tipo di smoothing Costante negli elementi della mesh.

Smussamento dei risultati

Modelli di materiale plastici e nonlinearmente elastici

Alcuni modelli di materiale in RFEM sono definiti "plastici", altri "nonlinearmente elastici". Se un componente con materiale nonlinearmente elastico viene nuovamente scaricato, la deformazione ritorna lungo lo stesso percorso. Al completo scaricamento non rimane alcuna deformazione.

Diagramma tensione-deformazione, elastico non lineare

Allo scaricamento di un componente con un modello di materiale plastico, dopo lo scaricamento completo rimane una deformazione.

Diagramma tensione-deformazione, plastica

Il carico e lo scarico possono essere simulati con l'add-on Analisi delle fasi costruttive.

Suggerimento

Ulteriori informazioni sui modelli di materiale nonlinearmente elastici sono disponibili nell'articolo tecnico Leggi di snervamento nel modello di materiale Isotropo nonlineare elastico.

Sollecitazioni interne di superficie

Le sollecitazioni interne nelle piastre con materiale nonlineare risultano dall'integrazione numerica delle tensioni sullo spessore della piastra. Per definire il metodo di integrazione per lo spessore, attivare nella finestra di dialogo 'Modifica spessore' l'opzione Specificare metodo di integrazione. In questo modo sono disponibili i seguenti metodi di integrazione:

Quadratura Gauss-Lobatto
Regola di Simpson
Regola dei trapezi

Definire il metodo di integrazione per lo spessore della superficie

Inoltre, è possibile specificare lNumero di punti di integrazione' sullo spessore della piastra da 3 a 99.

Suggerimento

I fondamenti teorici sui singoli metodi di integrazione sono disponibili nel manuale Superfici multistrato.

Isotropo | Plastico (barre)

Se si seleziona nella lista a discesa 'Modello di materiale' la voce Isotropo | Plastico (barre), la scheda per l'inserimento dei parametri nonlineari del materiale diventa attiva.

Attiva il modello del materiale non lineare

Definisci i parametri del materiale non lineare

In questa scheda si definisce il diagramma tensione-deformazione. A questo scopo sono disponibili le seguenti opzioni:

Standard

Bilineare

Diagramma

Se è stata selezionata l'opzione Standard, RFEM utilizza un modello di materiale bilineare. Per il modulo di elasticità E e la tensione di snervamento f_y vengono utilizzati i valori del database dei materiali. Per ragioni numeriche il ramo non procede esattamente in orizzontale, ma presenta una piccola pendenza E_p.

Se si desidera modificare i valori per il limite di snervamento e il modulo di elasticità, attivare nella scheda 'Base' la casella di controllo Materiale definito dall'utente.

Attiva materiale definito dall'utente

Con la definizione bilineare è possibile inserire anche il valore per E_p.

Relazioni più complesse tra tensione e deformazione si definiscono mediante un Diagramma tensione-deformazione. Se si seleziona questa opzione, viene visualizzata la scheda 'Diagramma tensione-deformazione'.

Inserire un diagramma tensione-deformazione personalizzato

Definire in ogni riga un punto per la relazione tensioni-deformazioni. Come deve procedere il diagramma dopo l'ultimo punto di definizione, è possibile selezionarlo nella lista 'Fine del diagramma' sotto il diagramma:

Progressione dopo l'ultimo punto di definizione

Con 'Rottura' la tensione torna a zero dopo l'ultimo punto di definizione (ad esempio quando il materiale si rompe). 'Snervamento' significa che la tensione rimane costante con deformazione crescente. 'Continuo' significa che la curva continua con la pendenza dell'ultimo tratto.

Informazione

In questo modello di materiale il diagramma tensione-deformazione si riferisce alla tensione normale σ_x. Diverse tensioni di snervamento per trazione e compressione non possono essere considerate con questo modello di materiale.

Isotropo | Plastico (superfici/corpi solidi)

Se si seleziona nella lista a discesa 'Modello di materiale' la voce Isotropo | Plastico (superfici/corpi solidi), la scheda per l'inserimento dei parametri nonlineari del materiale diventa attiva.

Seleziona il modello del materiale plastico

Selezionare innanzitutto lIpotesi di rottura per tensione'. Sono disponibili le seguenti ipotesi:

von Mises (ipotesi dell'energia di distorsione)

Tresca (ipotesi della tensione di taglio)

Drucker-Prager

Mohr-Coulomb

Definire l'ipotesi di rottura per tensione

Se si seleziona von Mises, nel diagramma tensione-deformazione vengono utilizzate le seguenti tensioni:

Superfici

$σ_{v} = \sqrt{σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} - σ_{x} σ_{y} + 3 (τ_{xy}^{2})}$

Tensione equivalente dalle tensioni di base secondo von Mises

Corpi solidi

$σ_{v, Mises} = \sqrt{σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} + σ_{z}^{2} - σ_{x} σ_{y} - σ_{x} σ_{z} - σ_{y} σ_{z} + 3 (τ_{x y}^{2} + τ_{x z}^{2} + τ_{y z}^{2})}$

Tensione equivalente σ_v,Mises dalle tensioni di base

$σ_{v, Mises} = \sqrt{\frac{1}{2} [(σ_{1} - σ_{2})^{2} + (σ_{1} - σ_{3})^{2} + (σ_{2} - σ_{3})^{2}]}$

Tensione equivalente σ_v,Mises dalle tensioni principali

Secondo l'ipotesi di Tresca vengono utilizzate queste tensioni:

Superfici

$σ_{v} = \sqrt{{(σ_{x} - σ_{y})}^{2} + 4 {τ_{xy}}^{2}}$

Tensione equivalente secondo Tresca

Corpi solidi

$σ_{v, Tresca} = max (|σ_{1} - σ_{2}|; |σ_{2} - σ_{3}|; |σ_{3} - σ_{1}|)$

Tensione equivalente σ_v,Tresca

Secondo l'ipotesi di Drucker-Prager questa tensione viene utilizzata per superfici e volumi:

$σ_{v} = \frac{m - 1}{2} (σ_{1} + σ_{2} + σ_{3}) + \frac{m + 1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} [{(σ_{1} - σ_{2})}^{2} + {(σ_{2} - σ_{3})}^{2} + {(σ_{3} - σ_{1})}^{2}]}$
$m = \frac{σ_{c}}{σ_{t}}$

σ_c

Tensione limite di compressione

σ_t

Tensione limite per trazione

Criterio di resa secondo Drucker-Prager

Secondo l'ipotesi di Mohr-Coulomb viene utilizzata la seguente tensione per superfici e volumi:

$σ_{v} = \frac{m + 1}{2} \max \{|σ_{1} - σ_{2}| + K (σ_{1} + σ_{2}), |σ_{2} - σ_{3}| + K (σ_{2} + σ_{3}), |σ_{3} - σ_{1}| + K (σ_{3} + σ_{1})\}$
$K = \frac{m - 1}{m + 1}$
$m = \frac{σ_{c}}{σ_{t}}$

Mohr – Coulomb

Isotropo | Nonlineare elastico (barre)

Il funzionamento corrisponde in gran parte a quello del modello di materiale Plastico (barre). A differenza di questo, tuttavia, dopo lo scaricamento non rimane alcuna deformazione plastica.

Isotropo | Nonlineare elastico (superfici/corpi solidi)

Il funzionamento corrisponde in gran parte a quello del modello di materiale Plastico (superfici/corpi solidi). A differenza di questo, tuttavia, dopo lo scaricamento non rimane alcuna deformazione plastica.

Isotropo | Danno (superfici/corpi solidi)

A differenza di altri modelli di materiale, il diagramma tensione-deformazione per questo modello di materiale non è antimetrico rispetto all'origine. In questo modo è possibile rappresentare ad esempio il comportamento del calcestruzzo fibrorinforzato con fibre di acciaio. Indicazioni dettagliate sulla modellazione del calcestruzzo fibrorinforzato con fibre di acciaio sono disponibili nell'articolo tecnico Proprietà del materiale del calcestruzzo fibrorinforzato con fibre di acciaio.

Modello del materiale "Isotropo" | Danni"

La rigidezza isotropa viene ridotta con un parametro scalare di danno. Questo parametro di danno si determina dall'andamento della tensione definito nel diagramma. In tal modo non viene considerata la direzione delle tensioni principali, ma il danno avviene piuttosto nella direzione della deformazione equivalente, che considera anche la terza direzione perpendicolare al piano. La zona di trazione e di compressione del tensore delle tensioni viene trattata separatamente. Si applicano diversi parametri di danno.

La 'Dimensione dell'elemento di riferimento' controlla come la deformazione nella zona delle fessure viene scalata sulla lunghezza dell'elemento. Con il valore preimpostato zero non avviene alcuna scalatura. In questo modo il comportamento del materiale del calcestruzzo fibrorinforzato con fibre di acciaio viene rappresentato in modo realistico.

Suggerimento

I fondamenti teorici del modello di materiale 'Isotropo danno' sono disponibili nell'articolo tecnico Modello di materiale nonlineare danno.

Ortotropo | Danno anisotropo

I materiali legnosi hanno proprietà dipendenti dalla direzione (anisotrope). Le direzioni principali anisotrope corrono nella direzione della fibratura, radialmente e tangenzialmente. Nella scheda Ortotropo | Danno anisotropo è possibile definire le proprietà nonlineari.

Modello di materiale 'Orthotropia | Danno anisotropo'

Questo modello di materiale implementa un modello di danno con otto criteri di rottura per il legno. Il legno si comporta sotto trazione e taglio quasi fragilmente e sotto compressione duttilmente. Rompe nei piani definiti dall'andamento delle fibre. Il modello di danno secondo Sandhaas [2] descrive otto criteri di rottura separati (uno per quadrante dello spazio delle tensioni), che controllano nove fattori di riduzione della rigidezza.

L'asse locale x corre nella direzione della fibratura, l'asse y radialmente e l'asse z tangenzialmente. Ogni criterio è una funzione di tensione F, che raggiunge il valore 1 all'inizio del danno. Quattro di essi sono semplici criteri di tensione massima. I quattro criteri per la trazione trasversale e il taglio sono ellittici: la rottura fragile (fessurazione) viene innescata dalla trazione nel rispettivo piano.

Specificare le resistenze limite del materiale nonché l'energia di rottura a trazione e l'energia di rottura a taglio per ogni direzione.

Informazione

A differenza del modello di materiale Ortotropo | Plastico, le forze non vengono ridistribuite, ma disaccoppiate tramite la rottura del piano delle fibre. In tal modo è possibile rappresentare il comportamento alla spaccatura del legno. Le deformazioni sono di regola minori.

Deformazioni con modello di materiale Ortotropo | Plastico (a sinistra) e Ortotropo | Danno anisotropo (a destra)

Ortotropo | Plastico (superfici) / Plastico (corpi solidi)

Il modello di materiale secondo Tsai-Wu unisce proprietà plastiche e ortotrope. In tal modo sono possibili modellazioni particolari di materiali con caratteristiche anisotrope come plastici fibrorinforzati o legno.

All'incrudirsi del materiale le tensioni rimangono costanti. Avviene una ridistribuzione in funzione delle rigidezze presenti nelle singole direzioni.

Modello di materiale "Ortotropo | Plastica (Superfici)"

Modello di materiale "Ortotropo | Plastica (solida) '

La zona elastica corrisponde al modello di materiale Elastico lineare (corpi solidi). Per la zona plastica vale la seguente condizione di snervamento secondo Tsai-Wu:

Superfici

$σ_{x} [\frac{1}{f_{t, x}} - \frac{1}{f_{c, x}}] + \frac{{σ_{x}}^{2}}{f_{t, x} f_{c, x}} +$
$σ_{y} [\frac{1}{f_{t, y}} - \frac{1}{f_{c, y}}] + \frac{{σ_{y}}^{2}}{f_{t, y} f_{c, y}} +$
$\frac{{τ_{xy}}^{2}}{{f_{v, xy}}^{2}} - {[\frac{1}{f_{t, x}} + \frac{1}{f_{c, x}}]}^{2} \frac{E_{x} E_{p, x}}{E_{x} - E_{p, x}} α \leq 1$
$α = \sum_{i} ∆ γ_{i}$

Tsai-Wu, stato di tensione planare

Corpi solidi

$σ_{x} [\frac{1}{f_{t, x}} - \frac{1}{f_{c, x}}] + \frac{{σ_{x}}^{2}}{f_{t, x} f_{c, x}} +$
$σ_{y} [\frac{1}{f_{t, y}} - \frac{1}{f_{c, y}}] + \frac{{σ_{y}}^{2}}{f_{t, y} f_{c, y}} +$
$σ_{z} [\frac{1}{f_{t, z}} - \frac{1}{f_{c, z}}] + \frac{{σ_{z}}^{2}}{f_{t, z} f_{c, z}} +$
$\frac{{τ_{yz}}^{2}}{{f_{v, yz}}^{2}} + \frac{{τ_{xz}}^{2}}{{f_{v, xz}}^{2}} + \frac{{τ_{xy}}^{2}}{{f_{v, xy}}^{2}} -$
${[\frac{1}{f_{t, x}} + \frac{1}{f_{c, x}}]}^{2} \frac{E_{x} E_{p, x}}{E_{x} - E_{p, x}} α \leq 1$
$α = \sum_{i} ∆ γ_{i}$

Tsai-Wu, Stato di tensione spaziale

Tutte le resistenze devono essere definite come positive.

La condizione di snervamento può essere immaginata come una superficie ellittica nello spazio delle tensioni a sei dimensioni. Se una delle tre componenti di tensione viene assunta come valore costante, la superficie può essere proiettata su uno spazio delle tensioni tridimensionale.

Se il valore per f_y(σ) secondo l'equazione Tsai-Wu, tensione-piana è minore di 1, le tensioni si trovano nella zona elastica. La zona plastica è raggiunta non appena f_y(σ) = 1. Valori maggiori di 1 non sono ammessi. Il modello si comporta idealmente plastico, ovvero non avviene alcun incrudimento.

Ortotropo | Plastico | Saldatura (superfici)

Questo modello di materiale viene utilizzato nelle analisi con l'add-on Giunti acciaio per rappresentare il comportamento delle saldature in conformità alle norme. Nella superficie equivalente nascono solo tensioni che corrispondono alle componenti di tensione σ_⊥, τ_⊥ e τ_|| della saldatura. Nelle restanti direzioni di tensione la rigidezza della superficie equivalente tende a zero.

Modello di materiale "Ortotropo | Plastico | Giunto saldato (superfici)"

Nella scheda 'Ortotropo | Plastico | Saldatura (superfici)' è possibile definire i parametri per la considerazione dell'incrudimento plastico del materiale nelle saldature, ad esempio i valori limite f_ekv e f_x per la verifica delle tensioni secondo il "metodo direzionale" secondo EN 1993-1-8 [1] per saldature, modificato con una quota plastica (vedere anche l'articolo tecnico Verifica dei filetti di saldatura).

Calcestruzzo

Per il tipo di materiale 'Calcestruzzo' sono disponibili per la selezione i modelli di materiale nonlineari Anisotropo | Danno e Isotropo | Danno (superfici/corpi solidi).

Modelli di materiale per calcestruzzo

Questi modelli di materiale sono descritti nel capitolo Anisotropo | Danno del manuale del calcestruzzo rispettivamente sopra nella sezione Danno (superfici/corpi solidi).

Muratura

Se nelle Impostazioni di base del modello l'add-on di verifica Verifica muratura è attivato (è richiesta una licenza), per il tipo di materiale 'Muratura' sono disponibili per la selezione i modelli di materiale nonlineari Isotropo | Muratura | Plastico (superfici) e Ortotropo | Muratura | Plastico (superfici).

Modelli di materiali per muratura

I due modelli di materiale sono descritti nel capitolo Materiali del manuale della muratura.

Tessuto

La libreria dei materiali contiene due serie per il tipo di materiale 'Tessuto':

Vetro-PTFE: tessuto in fibra di vetro rivestito con politetrafluoroetilene (PTFE)

PES-PVC: tessuto in poliestere rivestito con cloruro di polivinile (PVC)

Informazione

Per strati come ETFE è previsto il tipo di materiale 'Strato'.

Per i materiali tessili è disponibile, accanto al modello di materiale lineare ortotropo, il modello di materiale nonlineare Ortotropo | Tessuto | Nonlineare elastico (superfici).

Modelli di materiale per tessuti

Questo modello di materiale consente una rappresentazione realistica del comportamento ortotropo di membrane tessili precompresse, le cui rigidezze in ordito e trama sono diverse. Descrive il tessuto mediante un elemento di volume rappresentativo (RVE) della sua microstruttura. Grazie alla considerazione della geometria del tessuto, il modello rileva per tutti gli stati di forza nella membrana il relativo effetto di deformazione laterale. Poiché viene considerato anche lo sviluppo della rigidezza del tessuto dipendente dal carico, è possibile un'analisi precisa delle strutture a membrana.

I valori caratteristici dei tessuti vengono determinati in prove biaxiali, da cui risultano i moduli di elasticità E_x ed E_y nonché il modulo di taglio G_xy. L'accoppiamento tra direzione dell'ordito e della trama nasce però dalla geometria dei fili: sotto carico cambia l'ondulazione dei fili in entrambe le direzioni. Questo effetto è indicato in inglese come crimp interchange. Il modello di materiale deriva quindi la risposta del materiale da una cella unitaria della struttura del tessuto. Questa cella unitaria rileva anche la propria nonlinearità geometrica. I coefficienti di Poisson non vengono utilizzati in questo modello. L'accoppiamento delle due direzioni avviene mediante il parametro R della cella unitaria.

Come per tutti i modelli di materiale nonlinearmente elastici, la deformazione allo scaricamento ritorna lungo lo stesso percorso. Il calcolo avviene in modo iterativo.

Modello di materiale 'Ortotropo | Tessuto | Non linearmente elastico (Superfici)'

Selezionare nella lista 'Strutture tessili' il tipo di produzione del tessuto. Sono disponibili due possibilità:

Armatura a tela

Armatura a panama

Specificare il modulo di elasticità in direzione x (ordito) e in direzione y (trama). Poiché i moduli di taglio G_yz e G_xz nei tessuti sono sempre nulli, viene offerto solo il campo di inserimento G_xy per il coefficiente di Poisson nel piano del tessuto. Questo modulo di taglio può anche essere nullo.

Il parametro R descrive il rapporto tra altezza e lunghezza dell'elemento di volume rappresentativo (RVE). Questo valore deve essere compreso tra 0 e 1.

$R = \frac{h_{0}}{l_{0}}$

h₀

Altezza della cella unitaria perpendicolarmente al piano della membrana

l₀

Lunghezza della cella unitaria

Parametro R della cella unitaria

Per i materiali della libreria R = 0.25 è preimpostato e, come gli altri valori caratteristici, non modificabile. Per un materiale definito dall'utente è possibile adattare R.

Se necessario, adattare i coefficienti di dilatazione termica del tessuto α_x in direzione dell'ordito e α_y in direzione della trama. Possono anche essere nulli.

Nella scheda 'Proprietà del materiale' i valori caratteristici di un tessuto sono indicati come è consuetudine nel settore delle membrane. La direzione x corrisponde alla direzione dell'ordito, la direzione y alla direzione della trama.

Scheda 'Proprietà del materiale'

Spessore del tessuto

Lo spessore di una membrana è molto ridotto e difficilmente può essere determinato in modo univoco. Nel settore delle membrane rigidezze e resistenze sono pertanto indicate in relazione alla larghezza, ad esempio in kN/m. RFEM adotta questa convenzione e converte i valori mediante lo spessore di riferimento t_ref in grandezze di tensione.

$E_{x} = \frac{E_{x, MV}}{t_{ref}} E_{y} = \frac{E_{y, MV}}{t_{ref}} G_{x y} = \frac{G_{x y, MV}}{t_{ref}}$

E_x,MV / E_y,MV / G_xy,MV

Rigidezze nella scheda 'Proprietà del materiale'

t_ref

Spessore di riferimento

Conversione delle rigidezze

Questi valori compaiono nella scheda Proprietà del materiale. Se si assegna un tessuto a uno spessore, RFEM adotta lo spessore di riferimento t_ref del materiale come spessore d.

La rigidezza della membrana E_x · t_ref corrisponde al valore riferito alla larghezza della libreria. Le deformazioni e le forze della membrana come n_x e n_y in kN/m dipendono quindi dal valore numerico dello spessore di riferimento, purché tutti i valori caratteristici siano riferiti allo stesso spessore di riferimento. Le tensioni si riferiscono invece allo spessore di riferimento.

Informazione

Le resistenze f_x,k,23 e f_y,k,23 nonché il peso superficiale m_s non hanno influenza sul calcolo. Le resistenze sono disponibili per le verifiche.

Se si modifica lo spessore di riferimento nella scheda 'Proprietà del materiale' di un materiale definito dall'utente, ciò influisce sui valori nella scheda del modello di materiale. Definire quindi prima lo spessore di riferimento e solo dopo le rigidezze.

Note su Form-Finding e verifica

Il processo di Form-Finding è indipendente dal materiale. I valori caratteristici del tessuto non hanno influenza sulla forma trovata. Agiscono solo sul calcolo successivo sotto carico. I fondamenti sono descritti nel capitolo Processo di Form-Finding del manuale del Form-Finding.

Suggerimento

Le strutture a membrana si comportano in modo fortemente nonlineare. Se il calcolo non converge, verificare prima il modello: tutte le superfici membrana e le funi dovrebbero avere un carico di Form-Finding e tutti i bordi della membrana dovrebbero essere trattenuti da funi o vincoli lineari.

Una precompressione ortotropa costante non è fisicamente raggiungibile su superfici a doppia curvatura. Se si combina una precompressione ortotropa con il metodo standard e un numero molto elevato di iterazioni di Form-Finding, possono verificarsi movimenti di scorrimento tangenziali nel piano della membrana, un andamento di convergenza irregolare e grandi deformazioni nel piano. Questo comportamento è indipendente dal modello di materiale. Utilizzare il numero preimpostato di iterazioni oppure selezionare il metodo di proiezione.

Bibliografia

Comitato europeo di normalizzazione. (2009). Eurocodice 3: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten – Teil 1-8: Bemessung von Anschlüssen. Beuth Verlag GmbH, Berlin, 2010

Sandhaas, C. (2012). Comportamento meccanico di giunti lignei con piastre in acciaio inserite (Mechanical Behaviour of Timber Joints with Slotted-in Steel Plates). Tesi di dottorato, TU Delft.

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Modello materiale Tsai–Wu elastico-plastico ortotropo

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Angolo del telaio

σ_c	Tensione limite di compressione
σ_t	Tensione limite per trazione

h₀	Altezza della cella unitaria perpendicolarmente al piano della membrana
l₀	Lunghezza della cella unitaria

E_x,MV / E_y,MV / G_xy,MV	Rigidezze nella scheda 'Proprietà del materiale'
t_ref	Spessore di riferimento