VE 9972 | 根据 ACI 421 对具有不对称截面的平板内柱进行冲切设计 

说明

解析解

1. 板有效高度的计算

板的有效高度由板厚、保护层厚度以及抗弯钢筋的公称直径计算得出：

\( \mathsf{ d = h-c-d_b } \)

\( \mathsf{ = 7.00\,in. - 0.75\,in. - \frac{5}{8}\,in. = 5.62\,in. } \)

2. 临界截面几何尺寸的计算

临界截面位于距柱边 \(\mathsf{d/2}\) 处。

临界截面的尺寸为：

\( \mathsf{ b_1 = c_x+d = 12.00\,in. + 5.62\,in. = 17.62\,in. } \)

\( \mathsf{ b_2 = c_y+d = 20.00\,in. + 5.62\,in. = 25.62\,in. } \)

临界截面的周长长度为：

\( \mathsf{ b_o = 2\left(b_1+b_2\right) = 2\left(17.62+25.62\right) = 86.5\,in. } \)

根据参考解，临界截面的有效面积和极惯性矩为：

\( \mathsf{ A_c = 486\,\mathrm{in.}^{2} } \)

\( \mathsf{ J_c = 28.0 \times 10^{3}\,\mathrm{in.}^{4} } \)

距临界截面形心的最大距离为：

\( \mathsf{ x = \frac{b_1}{2} = \frac{17.62}{2} = 8.81\,in. } \)

带有临界周边的柱截面

3. 通过剪切传递的弯矩比例的计算

根据ACI 421.1R公式(4.2b)，计算通过偏心剪切传递的不平衡弯矩的比例：

\( \mathsf{ \gamma_v = 1 - \frac{1} { 1+ \frac{2}{3} \sqrt{\frac{b_1}{b_2}} } } \)

\( \mathsf{ = 1 - \frac{1} { 1+ \frac{2}{3} \sqrt{\frac{17.62}{25.62}} } = 0.36 } \)

4. 施加的冲切剪应力的计算

最大冲切剪应力由直接剪力和通过偏心剪切传递的不平衡弯矩计算得出：

\( \mathsf{ v_u = \frac{V_u}{A_c} + \frac{\gamma_v M_{uy}x}{J_c} } \)

\( \mathsf{ = \frac{110\times10^{3}\,lb} {486\,\mathrm{in.}^{2}} + \frac{ 0.36 \cdot 600\times10^{3}\,lb\,in. \cdot 8.81\,in. } { 28.0\times10^{3}\,\mathrm{in.}^{4} } = 294\,psi } \)

使用强度折减系数

\( \mathsf{ \phi = 0.75 } \)

设计剪应力为：

\( \mathsf{ \frac{v_u}{\phi} = \frac{294\,psi}{0.75} = 392\,psi } \)

5. 混凝土抗剪承载力的计算

柱长边与短边的比值为：

\( \mathsf{ \beta_c = \frac{c_y}{c_x} = \frac{20}{12} = 1.67 } \)

无抗剪钢筋时的混凝土名义抗剪承载力由下列表达式中的最小值确定：

• \(\mathsf{\left(2+\frac{4}{\beta_c}\right)\sqrt{f'_c}}\)
• \(\mathsf{\left(2+\frac{40d}{b_o}\right)\sqrt{f'_c}}\)
• \(\mathsf{4\sqrt{f'_c}}\)

对于当前的几何尺寸：

\( \mathsf{ v_n = \min \left[ 4.4\sqrt{f'_c}, 4.6\sqrt{f'_c}, 4.0\sqrt{f'_c} \right] = 253\,psi } \)

因此：

\( \mathsf{ v_n = 4\sqrt{f'_c} = 253\,psi } \)

由于

\( \mathsf{ \frac{v_u}{\phi} = 392\,psi > 253\,psi = v_n } \)

需要配置带头抗剪钢筋。

6. 所需抗剪钢筋的计算

当配置带头抗剪钢筋时，由混凝土承担的剪应力为：

\( \mathsf{ v_c = 3\sqrt{f'_c} = 190\,psi } \)

因此，待由带头栓钉承担的剪应力为：

\( \mathsf{ v_s \geq \frac{v_u}{\phi} - v_c = 392\,psi - 190\,psi = 202\,psi } \)

每个间距所需的栓钉面积为：

\( \mathsf{ \frac{A_v}{s} \geq \frac{v_s b_o}{f_{yt}} } \)

\( \mathsf{ \geq \frac{ 202\,psi \cdot 86.5\,in. } { 51{,}000\,psi } = 0.34\,in. } \)

7. 带头栓钉布置的选择

第一排外围栓钉线以及相邻外围栓钉线之间的间距必须满足：

\( \mathsf{ s_1 \leq 0.5d } \)

以及

\( \mathsf{ s \leq 0.5d } \)

由于

\( \mathsf{ 0.5d = 0.5 \cdot 5.62\,in. = 2.81\,in. } \)

所选用的值

\( \mathsf{ s_1 = 2.25\,in. } \)

和

\( \mathsf{ s = 2.75\,in. } \)

满足间距要求。

使用十根栓钉，每根栓钉的横截面积约为 \(\mathsf{0.11\,in.^2}\)，则每排栓钉线所提供的栓钉面积为：

\( \mathsf{ A_v = 10 \cdot 0.11\,\mathrm{in.}^{2} = 1.10\,\mathrm{in.}^{2} } \)

每个间距所提供的栓钉面积为：

\( \mathsf{ \frac{A_v}{s} = \frac{1.10\,\mathrm{in.}^{2}} {2.75\,in.} = 0.40\,in. } \)

由于

\( \mathsf{ 0.40\,in. > 0.34\,in. } \)

所选的带头抗剪钢筋是足够的。

抗冲切钢筋侧视图

8. 外围临界截面的验算

外围临界截面位于最外侧栓钉排线以外 \(\mathsf{d/2}\) 处。

对于十排栓钉线，柱边到最外侧栓钉线的距离为：

\( \mathsf{ s_1 + 9s = 2.25\,in. + 9 \cdot 2.75\,in. = 27.0\,in. } \)

因此，外围临界截面距柱边的距离为：

\( \mathsf{ \alpha d = 27.0\,in. + \frac{5.62\,in.}{2} = 29.8\,in. } \)

相应的系数为：

\( \mathsf{ \alpha = \frac{\alpha d}{d} = \frac{29.8}{5.62} = 5.3 } \)

在此临界截面处，设计剪应力为：

\( \mathsf{ \frac{v_u}{\phi} = 125\,psi } \)

抗剪加强区以外的名义抗剪承载力为：

\( \mathsf{ v_n = 2\sqrt{f'_c} = 126\,psi } \)

由于

\( \mathsf{ 125\,psi < 126\,psi } \)

抗剪加强区的范围是足够的。 \( \)

结果

RFEM 6的结果如下所示。

下表将RFEM 6的结果与解析参考解进行了比较。

评价

比较结果显示：

• 板的有效高度和临界截面周长非常吻合。
• 极惯性矩相差约1.7%。此微小偏差使RFEM的结果偏于保守。
• 最大偏差出现在施加的冲切剪应力中，这是由于弯矩传递的不同处理方式所致。
• 混凝土抗剪承载力几乎完全吻合。
• 所选的带头抗剪钢筋满足设计要求。

所选的带头抗剪钢筋以及抗剪加强区的范围满足相应的设计要求。