Beschreibung
| Materialien | Beton | Spezifizierte Betondruckfestigkeit | f'c | 4000 | psi |
| Biegezugbewehrung | Streckgrenze | fy | 60000 | psi | |
| Kopfbolzen | Streckgrenze | fyr | 51000 | psi | |
| Geometrie | Platte | Plattendicke | h | 7 | in. |
| Betondeckung | c | 0.75 | in. | ||
| Nenndurchmesser der Biegezugbewehrung | db | 5/8 | in. | ||
| Statische Nutzhöhe der Platte | d | 5.62 | in. | ||
| Stütze | Stützenabmessung in x-Richtung | cx | 12 | in. | |
| Stützenabmessung in y-Richtung | cy | 20 | in. |
Analytische Lösung
1. Berechnung der statischen Nutzhöhe der Platte
Die statische Nutzhöhe der Platte wird aus der Plattendicke, der Betondeckung und dem Nenndurchmesser der Biegezugbewehrung berechnet:
\( \mathsf{ d = h-c-d_b } \)
\( \mathsf{ = 7.00\,in. - 0.75\,in. - \frac{5}{8}\,in. = 5.62\,in. } \)
2. Berechnung der Geometrie des kritischen Rundschnitts
Der kritische Rundschnitt befindet sich im Abstand von \(\mathsf{d/2}\) vom Stützenrand.
Die Abmessungen des kritischen Rundschnitts betragen:
\( \mathsf{ b_1 = c_x+d = 12.00\,in. + 5.62\,in. = 17.62\,in. } \)
\( \mathsf{ b_2 = c_y+d = 20.00\,in. + 5.62\,in. = 25.62\,in. } \)
Die Länge des kritischen Umfangs beträgt:
\( \mathsf{ b_o = 2\left(b_1+b_2\right) = 2\left(17.62+25.62\right) = 86.5\,in. } \)
Gemäß der Referenzlösung betragen die wirksame Fläche und das polare Flächenträgheitsmoment des kritischen Rundschnitts:
\( \mathsf{ A_c = 486\,\mathrm{in.}^{2} } \)
\( \mathsf{ J_c = 28.0 \times 10^{3}\,\mathrm{in.}^{4} } \)
Der maximale Abstand vom Schwerpunkt des kritischen Rundschnitts beträgt:
\( \mathsf{ x = \frac{b_1}{2} = \frac{17.62}{2} = 8.81\,in. } \)
3. Berechnung des durch Querkraft übertragenen Momentenanteils
Der durch exzentrische Querkraft übertragene Anteil des nicht ausgeglichenen Moments wird gemäß ACI 421.1R Gl. (4.2b) berechnet:
\( \mathsf{ \gamma_v = 1 - \frac{1} { 1+ \frac{2}{3} \sqrt{\frac{b_1}{b_2}} } } \)
\( \mathsf{ = 1 - \frac{1} { 1+ \frac{2}{3} \sqrt{\frac{17.62}{25.62}} } = 0.36 } \)
4. Berechnung der einwirkenden Durchstanzschubspannung
Die maximale Durchstanzschubspannung wird aus der direkten Querkraft und dem durch exzentrische Querkraft übertragenen, nicht ausgeglichenen Moment berechnet:
\( \mathsf{ v_u = \frac{V_u}{A_c} + \frac{\gamma_v M_{uy}x}{J_c} } \)
\( \mathsf{ = \frac{110\times10^{3}\,lb} {486\,\mathrm{in.}^{2}} + \frac{ 0.36 \cdot 600\times10^{3}\,lb\,in. \cdot 8.81\,in. } { 28.0\times10^{3}\,\mathrm{in.}^{4} } = 294\,psi } \)
Unter Verwendung des Festigkeitsabminderungsfaktors
\( \mathsf{ \phi = 0.75 } \)
beträgt die Bemessungsschubspannung:
\( \mathsf{ \frac{v_u}{\phi} = \frac{294\,psi}{0.75} = 392\,psi } \)
5. Berechnung des Betonschubwiderstands
Das Verhältnis der langen zur kurzen Seite der Stütze beträgt:
\( \mathsf{ \beta_c = \frac{c_y}{c_x} = \frac{20}{12} = 1.67 } \)
Der nominelle Betonschubwiderstand ohne Schubbewehrung ergibt sich aus dem Minimum der folgenden Ausdrücke:
- \(\mathsf{\left(2+\frac{4}{\beta_c}\right)\sqrt{f'_c}}\)
- \(\mathsf{\left(2+\frac{40d}{b_o}\right)\sqrt{f'_c}}\)
- \(\mathsf{4\sqrt{f'_c}}\)
Für die vorliegende Geometrie:
\( \mathsf{ v_n = \min \left[ 4.4\sqrt{f'_c}, 4.6\sqrt{f'_c}, 4.0\sqrt{f'_c} \right] = 253\,psi } \)
Somit:
\( \mathsf{ v_n = 4\sqrt{f'_c} = 253\,psi } \)
Da
\( \mathsf{ \frac{v_u}{\phi} = 392\,psi > 253\,psi = v_n } \)
ist Kopfbolzen-Schubbewehrung erforderlich.
6. Berechnung der erforderlichen Schubbewehrung
Bei Vorhandensein von Kopfbolzen-Schubbewehrung beträgt die vom Beton aufgenommene Schubspannung:
\( \mathsf{ v_c = 3\sqrt{f'_c} = 190\,psi } \)
Die von den Kopfbolzen aufzunehmende Schubspannung beträgt daher:
\( \mathsf{ v_s \geq \frac{v_u}{\phi} - v_c = 392\,psi - 190\,psi = 202\,psi } \)
Die erforderliche Bolzenfläche pro Abstand beträgt:
\( \mathsf{ \frac{A_v}{s} \geq \frac{v_s b_o}{f_{yt}} } \)
\( \mathsf{ \geq \frac{ 202\,psi \cdot 86.5\,in. } { 51{,}000\,psi } = 0.34\,in. } \)
7. Auswahl der Kopfbolzenanordnung
Die erste periphere Bolzenreihe und der Abstand zwischen benachbarten peripheren Reihen müssen folgende Bedingungen erfüllen:
\( \mathsf{ s_1 \leq 0.5d } \)
und
\( \mathsf{ s \leq 0.5d } \)
Mit
\( \mathsf{ 0.5d = 0.5 \cdot 5.62\,in. = 2.81\,in. } \)
erfüllen die gewählten Werte
\( \mathsf{ s_1 = 2.25\,in. } \)
und
\( \mathsf{ s = 2.75\,in. } \)
die Abstandsanforderungen.
Bei Verwendung von zehn Bolzen mit einer Querschnittsfläche von ca. \(\mathsf{0.11\,in.^2}\) pro Bolzen beträgt die vorhandene Bolzenfläche pro peripherer Reihe:
\( \mathsf{ A_v = 10 \cdot 0.11\,\mathrm{in.}^{2} = 1.10\,\mathrm{in.}^{2} } \)
Die vorhandene Bolzenfläche pro Abstand beträgt:
\( \mathsf{ \frac{A_v}{s} = \frac{1.10\,\mathrm{in.}^{2}} {2.75\,in.} = 0.40\,in. } \)
Da
\( \mathsf{ 0.40\,in. > 0.34\,in. } \)
ist die gewählte Kopfbolzen-Schubbewehrung ausreichend.
8. Überprüfung des äußeren kritischen Rundschnitts
Der äußere kritische Rundschnitt befindet sich im Abstand von \(\mathsf{d/2}\) jenseits der äußersten peripheren Bolzenreihe.
Bei zehn peripheren Reihen beträgt der Abstand zwischen dem Stützenrand und der äußersten Bolzenreihe:
\( \mathsf{ s_1 + 9s = 2.25\,in. + 9 \cdot 2.75\,in. = 27.0\,in. } \)
Daher beträgt der Abstand des äußeren kritischen Rundschnitts vom Stützenrand:
\( \mathsf{ \alpha d = 27.0\,in. + \frac{5.62\,in.}{2} = 29.8\,in. } \)
Der entsprechende Faktor beträgt:
\( \mathsf{ \alpha = \frac{\alpha d}{d} = \frac{29.8}{5.62} = 5.3 } \)
An diesem kritischen Rundschnitt beträgt die Bemessungsschubspannung:
\( \mathsf{ \frac{v_u}{\phi} = 125\,psi } \)
Der nominelle Schubwiderstand außerhalb des schubbewehrten Bereichs beträgt:
\( \mathsf{ v_n = 2\sqrt{f'_c} = 126\,psi } \)
Da
\( \mathsf{ 125\,psi < 126\,psi } \)
ist die Ausdehnung des schubbewehrten Bereichs ausreichend. \( \)
Ergebnisse
Die Ergebnisse aus RFEM 6 sind nachfolgend dargestellt.
Die RFEM 6-Ergebnisse werden in der folgenden Tabelle mit der analytischen Referenzlösung verglichen.
| Durchstanznachweis nach ACI 318 und ACI 421.1R | |||||
| Parameter | Symbol | Einheit | RFEM | Analytische Lösung | Verhältnis |
| Statische Nutzhöhe der Platte | d | in. | 5.625 | 5.620 | 1.001 |
| Kritischer Umfang bei d/2 | bo | in. | 86.50 | 86.50 | 1.000 |
| Polares Flächenträgheitsmoment | Jc | in.4 | 27520.8 | 28000.0 | 0.983 |
| Durch Querkraft übertragener Momentenanteil | γv | [-] | 0.356 | 0.360 | 0.989 |
| Maximale einwirkende Schubspannung | vu | psi | 313.2 | 294.0 | 1.065 |
| Bemessungsschubspannung | vu/φ | psi | 417.6 | 392.0 | 1.065 |
| Betonschubwiderstand ohne Schubbewehrung | vn | psi | 253.0 | 253.0 | 1.000 |
| Vorhandene Bolzenfläche pro Abstand | Av/s | in. | 0.434 | 0.400 | 1.084 |
| Ausnutzung | η | [-] | 0.951 | 0.992 | 0.958 |
Bewertung
Der Vergleich zeigt Folgendes:
- Die statische Nutzhöhe der Platte und der kritische Umfang stimmen sehr gut überein.
- Das polare Flächenträgheitsmoment weicht um ca. 1,7 % ab. Diese geringfügige Abweichung platziert das RFEM-Ergebnis auf der konservativen Seite.
- Die größte Abweichung tritt bei der einwirkenden Durchstanzschubspannung auf und resultiert aus der unterschiedlichen Behandlung der Momentenübertragung.
- Der Betonschubwiderstand wird nahezu exakt reproduziert.
- Die gewählte Kopfbolzen-Schubbewehrung erfüllt die Bemessungsanforderungen.
Die gewählte Kopfbolzen-Schubbewehrung und die Ausdehnung des schubbewehrten Bereichs erfüllen die entsprechenden Bemessungsanforderungen.