VE 9972 | Návrh na protlačení vnitřního sloupu v plochém stropu s nesymetrickým průřezem podle ACI 421

Popis

Analytické řešení

1. Výpočet účinné výšky desky

Účinná výška desky se vypočítá z tloušťky desky, krytí výztuže a jmenovitého průměru ohybové výztuže:

\( \mathsf{ d = h-c-d_b } \)

\( \mathsf{ = 7.00\,in. - 0.75\,in. - \frac{5}{8}\,in. = 5.62\,in. } \)

2. Výpočet geometrie kritického průřezu

Kritický průřez se nachází ve vzdálenosti \(\mathsf{d/2}\) od líce sloupu.

Rozměry kritického průřezu jsou:

\( \mathsf{ b_1 = c_x+d = 12.00\,in. + 5.62\,in. = 17.62\,in. } \)

\( \mathsf{ b_2 = c_y+d = 20.00\,in. + 5.62\,in. = 25.62\,in. } \)

Délka kritického obvodu je:

\( \mathsf{ b_o = 2\left(b_1+b_2\right) = 2\left(17.62+25.62\right) = 86.5\,in. } \)

Podle referenčního řešení jsou účinná plocha a polární moment setrvačnosti kritického průřezu:

\( \mathsf{ A_c = 486\,\mathrm{in.}^{2} } \)

\( \mathsf{ J_c = 28.0 \times 10^{3}\,\mathrm{in.}^{4} } \)

Maximální vzdálenost od těžiště kritického průřezu je:

\( \mathsf{ x = \frac{b_1}{2} = \frac{17.62}{2} = 8.81\,in. } \)

Sloup Průřez s Kriticým Obvodem

3. Výpočet podílu momentu přenášeného smykem

Podíl nevyrovnaného momentu přenášeného excentrickým smykem se vypočítá podle ACI 421.1R, rovnice (4.2b):

\( \mathsf{ \gamma_v = 1 - \frac{1} { 1+ \frac{2}{3} \sqrt{\frac{b_1}{b_2}} } } \)

\( \mathsf{ = 1 - \frac{1} { 1+ \frac{2}{3} \sqrt{\frac{17.62}{25.62}} } = 0.36 } \)

4. Výpočet působícího napětí při protlačení

Maximální napětí při protlačení se vypočítá z přímé posouvající síly a nevyrovnaného momentu přenášeného excentrickým smykem:

\( \mathsf{ v_u = \frac{V_u}{A_c} + \frac{\gamma_v M_{uy}x}{J_c} } \)

\( \mathsf{ = \frac{110\times10^{3}\,lb} {486\,\mathrm{in.}^{2}} + \frac{ 0.36 \cdot 600\times10^{3}\,lb\,in. \cdot 8.81\,in. } { 28.0\times10^{3}\,\mathrm{in.}^{4} } = 294\,psi } \)

Při použití součinitele redukce pevnosti

\( \mathsf{ \phi = 0.75 } \)

je návrhové smykové napětí:

\( \mathsf{ \frac{v_u}{\phi} = \frac{294\,psi}{0.75} = 392\,psi } \)

5. Výpočet únosnosti betonu ve smyku

Poměr delší strany ke kratší straně sloupu je:

\( \mathsf{ \beta_c = \frac{c_y}{c_x} = \frac{20}{12} = 1.67 } \)

Jmenovitá únosnost betonu ve smyku bez smykové výztuže se stanoví jako minimum z následujících výrazů:

• \(\mathsf{\left(2+\frac{4}{\beta_c}\right)\sqrt{f'_c}}\)
• \(\mathsf{\left(2+\frac{40d}{b_o}\right)\sqrt{f'_c}}\)
• \(\mathsf{4\sqrt{f'_c}}\)

Pro danou geometrii:

\( \mathsf{ v_n = \min \left[ 4.4\sqrt{f'_c}, 4.6\sqrt{f'_c}, 4.0\sqrt{f'_c} \right] = 253\,psi } \)

Tedy:

\( \mathsf{ v_n = 4\sqrt{f'_c} = 253\,psi } \)

Protože

\( \mathsf{ \frac{v_u}{\phi} = 392\,psi > 253\,psi = v_n } \)

je vyžadována smyková výztuž s hlavou.

6. Výpočet požadované smykové výztuže

V případě použití smykové výztuže s hlavou je smykové napětí přenášené betonem:

\( \mathsf{ v_c = 3\sqrt{f'_c} = 190\,psi } \)

Smykové napětí, které musí být přeneseno trny s hlavou, je proto:

\( \mathsf{ v_s \geq \frac{v_u}{\phi} - v_c = 392\,psi - 190\,psi = 202\,psi } \)

Požadovaná plocha trnů na rozteč je:

\( \mathsf{ \frac{A_v}{s} \geq \frac{v_s b_o}{f_{yt}} } \)

\( \mathsf{ \geq \frac{ 202\,psi \cdot 86.5\,in. } { 51{,}000\,psi } = 0.34\,in. } \)

7. Výběr uspořádání trnů s hlavou

První obvodová řada trnů a vzdálenost mezi sousedními obvodovými řadami musí splňovat:

\( \mathsf{ s_1 \leq 0.5d } \)

a

\( \mathsf{ s \leq 0.5d } \)

Při

\( \mathsf{ 0.5d = 0.5 \cdot 5.62\,in. = 2.81\,in. } \)

vybrané hodnoty

\( \mathsf{ s_1 = 2.25\,in. } \)

a

\( \mathsf{ s = 2.75\,in. } \)

splňují požadavky na rozteče.

Při použití deseti trnů s průřezovou plochou přibližně \(\mathsf{0.11\,in.^2}\) na jeden trn je dodaná plocha trnů na jednu obvodovou řadu:

\( \mathsf{ A_v = 10 \cdot 0.11\,\mathrm{in.}^{2} = 1.10\,\mathrm{in.}^{2} } \)

Dodaná plocha trnů na rozteč je:

\( \mathsf{ \frac{A_v}{s} = \frac{1.10\,\mathrm{in.}^{2}} {2.75\,in.} = 0.40\,in. } \)

Protože

\( \mathsf{ 0.40\,in. > 0.34\,in. } \)

je vybraná smyková výztuž s hlavou dostatečná.

Pohled zboku na smykovou výztuž na protlačení

8. Ověření vnějšího kritického průřezu

Vnější kritický průřez se nachází ve vzdálenosti \(\mathsf{d/2}\) za nejvzdálenější obvodovou řadou trnů.

Pro deset obvodových řad je vzdálenost mezi lícem sloupu a nejvzdálenější řadou trnů:

\( \mathsf{ s_1 + 9s = 2.25\,in. + 9 \cdot 2.75\,in. = 27.0\,in. } \)

Proto je vzdálenost vnějšího kritického průřezu od líce sloupu:

\( \mathsf{ \alpha d = 27.0\,in. + \frac{5.62\,in.}{2} = 29.8\,in. } \)

Odpovídající součinitel je:

\( \mathsf{ \alpha = \frac{\alpha d}{d} = \frac{29.8}{5.62} = 5.3 } \)

V tomto kritickém průřezu je návrhové smykové napětí:

\( \mathsf{ \frac{v_u}{\phi} = 125\,psi } \)

Jmenovitá únosnost ve smyku vně oblasti vyztužené smykovou výztuží je:

\( \mathsf{ v_n = 2\sqrt{f'_c} = 126\,psi } \)

Protože

\( \mathsf{ 125\,psi < 126\,psi } \)

je rozsah smykově vyztužené oblasti dostatečný. \( \)

Výsledky

Výsledky z programu RFEM 6 jsou uvedeny níže.

Výsledky z RFEM 6 jsou porovnány s analytickým referenčním řešením v následující tabulce.

Vyhodnocení

Porovnání ukazuje následující:

• Účinná výška desky a kritický obvod jsou ve velmi dobré shodě.
• Polární moment setrvačnosti se liší přibližně o 1,7 %. Tato malá odchylka staví výsledek z RFEM na konzervativní stranu.
• Největší odchylka nastává u působícího napětí při protlačení a vyplývá z rozdílného přístupu k přenosu momentu.
• Únosnost betonu ve smyku je reprodukována téměř přesně.
• Vybraná smyková výztuž s hlavou splňuje požadavky návrhu.

Vybraná smyková výztuž s hlavou a rozsah smykově vyztužené oblasti splňují příslušné požadavky návrhu.