2026-09-08

VE0062 | 重力荷载

一根正方形截面的杆件按照下图固定于顶端。该杆件承受自重作用。为了进行对比，该算例还采用数值等于重力的集中荷载进行了建模。本验证算例的目的是说明尽管总荷载相等，这两种荷载类型之间的差异。该问题由以下一组参数描述。

重力荷载

第一种情况忽略自重。求杆件的最大变形 u_z,max。

一维情况下的平衡方程可写为：

\frac{d σ_{z}}{d z} + f_{z} = 0

σ_z	轴向应力
f_z	体积力

轴向应力 σ_z 由胡克定律定义。

σ_{z} = E ε_{z}

胡克定律

集中荷载

首先考虑集中荷载的作用。集中荷载等于重力。

G = g ρ A L = 314.000 N

重力

在这种情况下，体积力 f_z 为零。因此应变 ε_z 保持不变

\frac{d σ_{z}}{d z} = \frac{d (E ε_{z})}{d z} = \frac{E d ε_{z}}{d z} = 0

其中应变 ε_z 定义为：

ε_{z} = \frac{d u_{z}}{d z}

轴向应变

则最终的微分方程为：

\frac{d^{2} u_{z}}{d z^{2}} = 0

该微分方程的解具有如下线性函数的形式。

u_{z} (z) = C_{1} z + C_{2}, C_{1} \in ℝ, C_{2} \in ℝ

微分方程的通解

积分常数 C₁、C₂ 可由边界条件求得。

\frac{d u_{z}}{d z} = ε_{z} = \frac{G}{E A},

u_{z} (L) = 0 .

边界条件

因此，

C_{1} = \frac{G}{E A},

C_{2} = - \frac{G L}{E A} .

积分常数

最后，可补全位移 u_z 的公式并计算最大位移 u_z,max。

u_{z} (z) = \frac{G}{E A} (L - z),

u_{z, \max} = \frac{G L}{E A} = - 0.037 mm .

最大位移

在自重情况下，体积力定义为：

f_{z} = ρ g

体积力

再次使用上述平衡方程，平衡微分方程可改写如下：

\frac{d^{2} u_{z}}{d z^{2}} = - \frac{ρ g}{E}

自重的平衡条件

请注意，此时应变 ε_z 不是常数。变形 u_z 为：

u_{z} (z) = - \frac{ρ g}{2 E} z^{2} + C_{1} x + C_{2}, C_{1} \in ℝ, C_{2} \in ℝ

微分方程的通解

这种情况下的边界条件如下：

\frac{d u_{z} (0)}{d z} = 0,

u_{z} (L) = 0 .

边界条件

因此，

C_{1} = 0,

C_{2} = - \frac{ρ g}{2 E} L^{2} .

积分常数

最后，可补全位移 u_z 的公式并计算最大位移 u_z,max。

u_{z} (z) = \frac{ρ g}{2 E} (L^{2} - z^{2}),

u_{z, \max} = \frac{ρ g L^{2}}{2 E} = - 0.019 mm .

最大位移

;