17x

2026-09-08

VE0062 | Obciążenie grawitacyjne

Opis

Pręt o przekroju kwadratowym jest zamocowany na górnym końcu zgodnie z poniższym rysunkiem. Pręt jest obciążony ciężarem własnym. Dla porównania przykład jest również modelowany z obciążeniem siłą skoncentrowaną, której wartość jest równa ciężarowi. Celem tego przykładu weryfikacyjnego jest pokazanie różnicy między tymi typami obciążenia, mimo że całkowita siła obciążenia jest równa. Zagadnienie opisane jest następującym zestawem parametrów.

Materiał	Stal	Moduł sprężystości	E	210000.000	MPa
		Współczynnik Poissona	ν	0.296	-
		Gęstość	ρ	7850.000	kg/m³
Geometria	Pręt	Długość	L	10.000	m
Geometria	Pręt	Szerokość przekroju	w	20.000	mm
Obciążenie		Przyspieszenie ziemskie	g	10.000	m/s²

Obciążenie grawitacyjne

Ciężar własny jest pomijany w pierwszym przypadku. Należy wyznaczyć maksymalne przemieszczenie pręta u_z,max.

Rozwiązanie analityczne

Równanie równowagi w przypadku jednowymiarowym można zapisać jako:

\frac{d σ_{z}}{d z} + f_{z} = 0

σ_z	Naprężenie osiowe
f_z	Siła objętościowa

Warunek równowagi dla przypadku jednowymiarowego

Naprężenie osiowe σ_z jest zdefiniowane przez prawo Hooke'a.

σ_{z} = E ε_{z}

Prawo Hooke'a

Siła skoncentrowana

Najpierw rozważane jest obciążenie siłą skoncentrowaną. Siła skoncentrowana jest równa ciężarowi.

G = g ρ A L = 314.000 N

Siła grawitacji

Siła objętościowa f_z jest w tym przypadku równa zero. Wtedy odkształcenie ε_z pozostaje stałe

\frac{d σ_{z}}{d z} = \frac{d (E ε_{z})}{d z} = \frac{E d ε_{z}}{d z} = 0

Równanie równowagi dla siły skupionej

gdzie odkształcenie ε_z jest zdefiniowane jako:

ε_{z} = \frac{d u_{z}}{d z}

Odkształcenie osiowe

Ostateczne równanie różniczkowe ma postać:

\frac{d^{2} u_{z}}{d z^{2}} = 0

Ostateczne równanie różniczkowe dla siły skupionej

Rozwiązanie tego równania różniczkowego ma postać następującej funkcji liniowej.

u_{z} (z) = C_{1} z + C_{2}, C_{1} \in ℝ, C_{2} \in ℝ

Ogólne rozwiązanie równania różniczkowego

Stałe całkowania C₁, C₂ można wyznaczyć z warunków brzegowych.

\frac{d u_{z}}{d z} = ε_{z} = \frac{G}{E A},

u_{z} (L) = 0 .

Warunki brzegowe

Stąd,

C_{1} = \frac{G}{E A},

C_{2} = - \frac{G L}{E A} .

Stały całkowania

Ostatecznie można uzupełnić wzór na przemieszczenie u_z i obliczyć maksymalne przemieszczenie u_z,max.

u_{z} (z) = \frac{G}{E A} (L - z),

u_{z, \max} = \frac{G L}{E A} = - 0.037 mm .

Maksymalne przemieszczenie

Ciężar własny

W przypadku ciężaru własnego siła objętościowa jest zdefiniowana jako:

f_{z} = ρ g

Siła objętościowa

Ponowne wykorzystanie powyższego równania równowagi pozwala przekształcić różniczkowe równanie równowagi w następujący sposób:

\frac{d^{2} u_{z}}{d z^{2}} = - \frac{ρ g}{E}

Warunek równowagi dla ciężaru własnego

Należy zwrócić uwagę, że odkształcenie ε_z nie jest stałe. Przemieszczenie u_z wynosi wtedy:

u_{z} (z) = - \frac{ρ g}{2 E} z^{2} + C_{1} x + C_{2}, C_{1} \in ℝ, C_{2} \in ℝ

Ogólne rozwiązanie równania różniczkowego

Warunki brzegowe w tym przypadku są następujące:

\frac{d u_{z} (0)}{d z} = 0,

u_{z} (L) = 0 .

Warunki brzegowe

Stąd,

C_{1} = 0,

C_{2} = - \frac{ρ g}{2 E} L^{2} .

Stałe całkowania

Ostatecznie można uzupełnić wzór na przemieszczenie u_z i obliczyć maksymalne przemieszczenie u_z,max.

u_{z} (z) = \frac{ρ g}{2 E} (L^{2} - z^{2}),

u_{z, \max} = \frac{ρ g L^{2}}{2 E} = - 0.019 mm .

Maksymalne przemieszczenie

Ustawienia RFEM

Modelowanie w RFEM 6.14 i RFEM 5.06
Rozmiar elementu l_FE = 0.100 m
Zastosowano izotropowy liniowo-sprężysty model materiału

Wyniki

Typ obciążenia	Rozwiązanie analityczne [mm]	RFEM 6 [mm]	Iloraz [-]	RFEM 5 [mm]	Iloraz [-]
Siła skoncentrowana	−0.037	−0.037	1.000	−0.037	1.000
Ciężar własny	−0.019	−0.019	1.000	−0.019	1.000

Model 000145 | Verification Example 000062 | 1

15x

Przykład weryfikacyjny 000062 | 1

;