8.9.2026

VE0062 | Gravitační zatížení

Popis

Prut s čtvercovým průřezem je upevněn na horním konci podle následujícího obrázku. Prut je zatížen vlastní tíhou. Pro porovnání je příklad také modelován se soustředěným silovým zatížením, jehož hodnota je rovna gravitaci. Cílem tohoto verifikačního příkladu je ukázat rozdíl mezi těmito typy zatížení, i když celková zatěžovací síla je stejná. Problém je popsán následující sadou parametrů.

Materiál	Ocel	Modul pružnosti	E	210000.000	MPa
		Poissonovo číslo	ν	0.296	-
		Hustota	ρ	7850.000	kg/m³
Geometrie	Prut	Délka	L	10.000	m
Geometrie	Prut	Šířka průřezu	w	20.000	mm
Zatížení		Gravitační zrychlení	g	10.000	m/s²

Gravitační zatížení

Vlastní tíha je v prvním případě zanedbána. Určete maximální deformaci prutu u_z,max.

Analytické řešení

Rovnice rovnováhy v jednorozměrném případě lze zapsat jako:

\frac{d σ_{z}}{d z} + f_{z} = 0

σ_z	Osové napětí
f_z	Objemová síla

Podmínka rovnováhy pro jednorozměrný případ

Normálové napětí σ_z je definováno Hookeovým zákonem.

σ_{z} = E ε_{z}

Hookův zákon

Soustředěná síla

Nejprve je uvažováno zatížení soustředěnou silou. Soustředěná síla je rovna gravitaci.

G = g ρ A L = 314.000 N

Gravitační síla

Objemová síla f_z je v tomto případě rovna nule. Poté přetvoření ε_z zůstává konstantní

\frac{d σ_{z}}{d z} = \frac{d (E ε_{z})}{d z} = \frac{E d ε_{z}}{d z} = 0

Podmínka rovnováhy pro soustředěnou sílu

kde přetvoření ε_z je definováno jako:

ε_{z} = \frac{d u_{z}}{d z}

Axiální přetvoření

Pak výsledná diferenciální rovnice je:

\frac{d^{2} u_{z}}{d z^{2}} = 0

Konečná diferenciální rovnice pro soustředěnou sílu

Řešení této diferenciální rovnice má tvar následující lineární funkce.

u_{z} (z) = C_{1} z + C_{2}, C_{1} \in ℝ, C_{2} \in ℝ

Obecné řešení diferenciální rovnice

Integrační konstanty C₁, C₂ lze získat z okrajových podmínek.

\frac{d u_{z}}{d z} = ε_{z} = \frac{G}{E A},

u_{z} (L) = 0 .

Okrajové podmínky

Tedy,

C_{1} = \frac{G}{E A},

C_{2} = - \frac{G L}{E A} .

Integrační konstanty

Nakonec lze doplnit vzorec pro posun u_z a vypočítat maximální posun u_z,max.

u_{z} (z) = \frac{G}{E A} (L - z),

u_{z, \max} = \frac{G L}{E A} = - 0.037 mm .

Maximální posun

Vlastní tíha

V případě vlastní tíhy je objemová síla definována jako:

f_{z} = ρ g

Objemová síla

Opětovným použitím výše uvedené rovnice rovnováhy lze diferenciální rovnici rovnováhy přepsat následovně:

\frac{d^{2} u_{z}}{d z^{2}} = - \frac{ρ g}{E}

Podmínka rovnováhy pro vlastní tíhu

Všimněte si, že přetvoření ε_z není konstantní. Deformace u_z je pak následující:

u_{z} (z) = - \frac{ρ g}{2 E} z^{2} + C_{1} x + C_{2}, C_{1} \in ℝ, C_{2} \in ℝ

Obecné řešení diferenciální rovnice

Okrajové podmínky jsou v tomto případě následující:

\frac{d u_{z} (0)}{d z} = 0,

u_{z} (L) = 0 .

Okrajové podmínky

Tedy,

C_{1} = 0,

C_{2} = - \frac{ρ g}{2 E} L^{2} .

Integrační konstanty

Nakonec lze doplnit vzorec pro posun u_z a vypočítat maximální posun u_z,max.

u_{z} (z) = \frac{ρ g}{2 E} (L^{2} - z^{2}),

u_{z, \max} = \frac{ρ g L^{2}}{2 E} = - 0.019 mm .

Maximální průhyb

Nastavení RFEM

Modelováno v RFEM 6.14 a RFEM 5.06
Velikost prvku je l_FE = 0.100 m
Použit je izotropní lineárně elastický materiálový model

Výsledky

Typ zatížení	Analytické řešení [mm]	RFEM 6 [mm]	Poměr [-]	RFEM 5 [mm]	Poměr [-]
Soustředěná síla	−0.037	−0.037	1.000	−0.037	1.000
Vlastní tíha	−0.019	−0.019	1.000	−0.019	1.000

Model 000145 | Verifikační příklad 000062 | 1

Validační příklad 000062 | 1

;