08-09-2026

VE0062 | Cargas gravitatorias

Descripción

Una barra con una sección transversal cuadrada está fijada en su extremo superior según la siguiente figura. La barra está cargada por su peso propio. Para comparar, el ejemplo también se modela con una carga de fuerza concentrada cuyo valor es igual a la fuerza de gravedad. El objetivo de este ejemplo de verificación es mostrar la diferencia entre estos tipos de carga, aunque la fuerza de carga total es igual. El problema se describe mediante el siguiente conjunto de parámetros.

Material	Acero	Módulo de elasticidad	E	210000.000	MPa
		Coeficiente de Poisson	ν	0.296	-
		Densidad	ρ	7850.000	kg/m³
Geometría	Barra	Longitud	L	10.000	m
Geometría	Barra	Ancho de la sección	w	20.000	mm
Carga		Aceleración gravitatoria	g	10.000	m/s²

Carga gravitatoria

En el primer caso se desprecia el peso propio. Determine la flecha máxima de la barra u_z,máx.

Solución analítica

La condición de equilibrio en el caso unidimensional puede escribirse como:

\frac{d σ_{z}}{d z} + f_{z} = 0

σ_z	Tensión axial
f_z	Fuerza volumétrica

Ecuación de equilibrio para el caso unidimensional

La tensión axial σ_z se define por la ley de Hooke.

σ_{z} = E ε_{z}

Ley de Hooke

Fuerza concentrada

Primero se considera la carga mediante la fuerza concentrada. La fuerza concentrada es igual a la fuerza de gravedad.

G = g ρ A L = 314.000 N

Fuerza gravitatoria

La fuerza volumétrica f_z es igual a cero en este caso. Entonces, la deformación ε_z permanece constante

\frac{d σ_{z}}{d z} = \frac{d (E ε_{z})}{d z} = \frac{E d ε_{z}}{d z} = 0

Condición de equilibrio para carga puntual

donde la deformación ε_z se define como:

ε_{z} = \frac{d u_{z}}{d z}

Deformación axil

Entonces, la ecuación diferencial final es:

\frac{d^{2} u_{z}}{d z^{2}} = 0

Ecuación diferencial final para fuerza concentrada

La solución de esta ecuación diferencial tiene la forma de la siguiente función lineal.

u_{z} (z) = C_{1} z + C_{2}, C_{1} \in ℝ, C_{2} \in ℝ

Solución general de la ecuación diferencial

Las constantes de integración C₁, C₂ se pueden obtener a partir de las condiciones de contorno.

\frac{d u_{z}}{d z} = ε_{z} = \frac{G}{E A},

u_{z} (L) = 0 .

Condiciones de contorno

Por lo tanto,

C_{1} = \frac{G}{E A},

C_{2} = - \frac{G L}{E A} .

Constantes de integración

Finalmente, se puede completar la fórmula para la flecha u_z y calcular la flecha máxima u_z,máx.

u_{z} (z) = \frac{G}{E A} (L - z),

u_{z, \max} = \frac{G L}{E A} = - 0.037 mm .

Desplazamiento máximo

Peso propio

En el caso del peso propio, la fuerza volumétrica se define como:

f_{z} = ρ g

Fuerza de volumen

Utilizando de nuevo la condición de equilibrio mencionada anteriormente, la ecuación diferencial de equilibrio puede reescribirse como sigue:

\frac{d^{2} u_{z}}{d z^{2}} = - \frac{ρ g}{E}

Ecuación de equilibrio para el peso propio

Nótese que la deformación ε_z no es constante. La flecha u_z es entonces la siguiente:

u_{z} (z) = - \frac{ρ g}{2 E} z^{2} + C_{1} x + C_{2}, C_{1} \in ℝ, C_{2} \in ℝ

Solución general de la ecuación diferencial

Las condiciones de contorno en este caso son las siguientes:

\frac{d u_{z} (0)}{d z} = 0,

u_{z} (L) = 0 .

Condiciones de contorno

Por lo tanto,

C_{1} = 0,

C_{2} = - \frac{ρ g}{2 E} L^{2} .

Constantes de integración

Finalmente, se puede completar la fórmula para la flecha u_z y calcular la flecha máxima u_z,máx.

u_{z} (z) = \frac{ρ g}{2 E} (L^{2} - z^{2}),

u_{z, \max} = \frac{ρ g L^{2}}{2 E} = - 0.019 mm .

Desplazamiento máximo

Ajustes de RFEM

Modelado en RFEM 6.14 y RFEM 5.06
El tamaño del elemento es l_FE = 0.100 m
Se utiliza un modelo de material isótropo lineal elástico

Resultados

Tipo de carga	Solución analítica [mm]	RFEM 6 [mm]	Cociente [-]	RFEM 5 [mm]	Cociente [-]
Fuerza concentrada	−0.037	−0.037	1.000	−0.037	1.000
Peso propio	−0.019	−0.019	1.000	−0.019	1.000

Modelo 000145 | Verification Example 000062 | 1

Ejemplo de verificación 000062 | 1

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