2026-09-08

VE0062 | Carico gravitazionale

Descrizione

Un'asta con sezione quadrata è fissata all'estremità superiore come mostrato nella figura seguente. L'asta è caricata dal suo peso proprio. Per confronto, l'esempio è modellato anche con un carico di forza concentrata il cui valore è pari alla forza di gravità. Lo scopo di questo esempio di verifica è mostrare la differenza tra questi tipi di carico, sebbene la forza di carico totale sia pari. Il problema è descritto dal seguente insieme di parametri.

Materiale	Acciaio	Modulo di elasticità	E	210000.000	MPa
		Coefficiente di Poisson	ν	0.296	-
		Densità	ρ	7850.000	kg/m³
Geometria	Asta	Lunghezza	L	10.000	m
Geometria	Asta	larghezza della sezione trasversale	w	20.000	mm
Carico		accelerazione di gravità	g	10.000	m/s²

Carico gravitazionale

Il peso proprio è trascurato nel primo caso. Determinare la deformazione massima dell'asta u_z,max.

Soluzione analitica

L'equazione di equilibrio nel caso monodimensionale può essere scritta come:

\frac{d σ_{z}}{d z} + f_{z} = 0

σ_z	Tensione assiale
f_z	Forza di volume

Condizione di equilibrio per il caso unidimensionale

La tensione assiale σ_z è definita dalla legge di Hook.

σ_{z} = E ε_{z}

Legge di Hook

Forza concentrata

In primo luogo, si considera il carico mediante la forza concentrata. La forza concentrata è pari alla forza di gravità.

G = g ρ A L = 314.000 N

Forza gravitazionale

La forza volumica f_z è pari a zero in questo caso. La deformazione ε_z rimane quindi costante

\frac{d σ_{z}}{d z} = \frac{d (E ε_{z})}{d z} = \frac{E d ε_{z}}{d z} = 0

Equazione di equilibrio per carico concentrato

dove la deformazione ε_z è definita come:

ε_{z} = \frac{d u_{z}}{d z}

Deformazione assiale

L'equazione differenziale finale è quindi:

\frac{d^{2} u_{z}}{d z^{2}} = 0

Equazione differenziale finale per forza concentrata

La soluzione di questa equazione differenziale ha la forma della seguente funzione lineare.

u_{z} (z) = C_{1} z + C_{2}, C_{1} \in ℝ, C_{2} \in ℝ

Soluzione generale dell'equazione differenziale

Le costanti di integrazione C₁, C₂ possono essere determinate dalle condizioni al contorno.

\frac{d u_{z}}{d z} = ε_{z} = \frac{G}{E A},

u_{z} (L) = 0 .

Condizioni al contorno

Da cui,

C_{1} = \frac{G}{E A},

C_{2} = - \frac{G L}{E A} .

Costanti di integrazione

Infine, la formula per lo spostamento u_z può essere completata e lo spostamento massimo u_z,max calcolato.

u_{z} (z) = \frac{G}{E A} (L - z),

u_{z, \max} = \frac{G L}{E A} = - 0.037 mm .

Spostamento Massimo

Peso proprio

Nel caso del peso proprio, la forza volumica è definita come:

f_{z} = ρ g

Forza di volume

Utilizzando nuovamente l'equazione di equilibrio menzionata in precedenza, l'equazione differenziale dell'equilibrio può essere riscritta come segue:

\frac{d^{2} u_{z}}{d z^{2}} = - \frac{ρ g}{E}

Equazione di equilibrio per il peso proprio

Si noti che la deformazione ε_z non è costante. La deformazione u_z è quindi la seguente:

u_{z} (z) = - \frac{ρ g}{2 E} z^{2} + C_{1} x + C_{2}, C_{1} \in ℝ, C_{2} \in ℝ

Soluzione generale dell'equazione differenziale

Le condizioni al contorno in questo caso sono le seguenti:

\frac{d u_{z} (0)}{d z} = 0,

u_{z} (L) = 0 .

Condizioni al contorno

Da cui,

C_{1} = 0,

C_{2} = - \frac{ρ g}{2 E} L^{2} .

Costanti di integrazione

Infine, la formula per lo spostamento u_z può essere completata e lo spostamento massimo u_z,max calcolato.

u_{z} (z) = \frac{ρ g}{2 E} (L^{2} - z^{2}),

u_{z, \max} = \frac{ρ g L^{2}}{2 E} = - 0.019 mm .

Spostamento massimo

Impostazioni RFEM

Modellato in RFEM 6.14 e RFEM 5.06
La dimensione degli elementi è l_FE = 0.100 m
Viene utilizzato un modello di materiale elastico lineare isotropo

Risultati

Tipo di carico	Soluzione analitica [mm]	RFEM 6 [mm]	Rapporto [-]	RFEM 5 [mm]	Rapporto [-]
Forza concentrata	−0.037	−0.037	1.000	−0.037	1.000
Peso proprio	−0.019	−0.019	1.000	−0.019	1.000

Modello 000145 | Verification Example 000062 | 1

Esempio di verifica 000062 | 1

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