2024-02-28

VE0053 | 翘曲作用下悬臂扭转：固定支座与叉形支座对比

说明

一个工字形截面的悬臂梁在左端（x=0）处受到支撑，并承受扭矩 M，如下面的示意图所示。本例的目的是将固定支座与叉形支座进行比较，并研究一些代表性物理量的行为。此外，还与基于板单元的解进行了比较。此验证算例基于 Gensichen 和 Lumpe 提出的示例（参见参考文献）。考虑小变形，忽略自重。确定悬臂梁中点处的扭转角 φ_x(L/2)，对于考虑翘曲的构件实体，确定其在左端（A点）和右端（B点）的主扭转力矩 M_Tpri、次扭转力矩 M_Tsec 和翘曲力矩 M_ω 的值。该问题由以下参数集描述。

材料	钢材	弹性模量	E	210000.000	MPa
材料	钢材	剪切模量	G	81000.000	MPa
几何	悬臂梁	长度	L	5.000	m
	截面	高度	h	400.000	mm
		宽度	b	180.000	mm
		腹板厚度	s	10.000	mm
		翼缘厚度	t	14.000	mm
荷载		力矩	M	1.000	kNm

考虑翘曲扭转的悬臂梁

解析解

当考虑包含翘曲的构件计算时，总扭矩 M_T 被分解为主扭转力矩 M_Tpri 和次扭转力矩 M_Tsec。

M_{T} (x) = M_{Tpri} (x) + M_{Tsec} (x) = G J φ' (x) - E C_{ω} φ''' (x)

J	Torsional constant
C_ω	Warping constant

扭矩的微分方程

该方程可表达如下：

φ''' (x) - α^{2} φ' (x) = - \frac{α^{2}}{G J} M_{T} (x); α^{2} = \frac{G J}{E C_{ω}}

扭矩的微分方程

这是扭转的完整微分方程。可通过初参数法求解，从而得出扭转角 φ_x、相对扭转率 φ'_x 以及翘曲力矩 M_ω、主扭转力矩 M_Tpri 和次扭转力矩 M_Tsec 的方程。

当考虑固定支座时，翘曲被约束。此情况下的边界条件为：φ(0)=0，φ'(0)=0，M_T(0)=M，M_ω(L)=0。

当考虑叉形支座时，翘曲是允许的，边界条件如下：φ(0)=0，M_ω(0)=0，M_T(0)=M，M_ω(L)=0。

使用这些边界条件，扭转角 φ(x) 可得出众所周知的公式。

φ (x) = \frac{Mx}{GJ}

悬臂转动

RFEM 设置

在 RFEM 5.05 和 RFEM 6.01 中建模
单元尺寸为 l_FE= 0.025 m
使用各向同性线弹性材料模型
使用 Kirchhoff 板弯曲理论
在 RFEM 6 中使用了“翘曲扭转”和“钢结构设计”模块

结果

以下图表显示了在考虑固定支座的情况下，由 RFEM 6 和 RFEM 5 的 RF-FE-LTB 模块计算得到的总扭矩 M_T、主扭转力矩 M_Tpri、次扭转力矩 M_Tsec 和翘曲力矩 M_ω 的行为。悬臂梁两端的结果值与解析解和 ANSYS 13 中的解进行了比较。

总扭矩

主扭矩

次扭矩

翘曲弯矩

点 A (x=0)	解析解	ANSYS 13	比率	RFEM 6	比率	RFEM RF-FE-LTB	比率
M_Tpri [kNm]	0.000	0.008	-	0.000	-	0.000	-
M_Tsec [kNm]	1.000	0.992	0.992	1.000	1.000	1.000	1.000
M_ω [kNm]	-1.714	-1.683	0.989	-1.743	1.017	-1.714	1.000

点 B (x=L)	解析解	ANSYS 13	比率	RFEM 6	比率	RFEM RF-FE-LTB	比率
M_Tpri [kNm]	0.890	0.893	1.003	0.869	0.976	0.890	1.000
M_Tsec [kNm]	0.110	0.107	0.973	0.131	1.191	0.110	1.000
M_ω [kNm]	0.000	0.001	-	0.000	-	0.000	-

计算得到的绕 x 轴的扭转角可以与考虑叉形支座时的结果，以及自然考虑翘曲的板模型结果进行比较。由于板模型中加载点附近有受影响区域，因此使用半长处的扭转角 φ(L/2)。在板模型情况下，叉形支座的定义比较复杂，因为翘曲力矩必须等于零。该边界条件无法在 RFEM 5 / RFEM 6 中直接设置。所使用的近似方法如下面的图所示。支座所有边缘上的绕 x 轴转动被约束。只有中心节点（位于轴线上）被完全固定。在固定支座情况下，支座的所有边缘都被固定。

RFEM 5/RFEM 6 中固定支座和音叉支座的近似值

带有固定支座（上）和货叉支座（下）的悬臂梁使用板建模。

支座	解析解	ANSYS 13		RFEM 6 (构件)		RFEM 6 (板)
支座	φ_x(L/2) [mrad]	φ_x(L/2) [mrad]	比率 [-]	φ_x(L/2) [mrad]	比率 [-]	φ_x(L/2) [mrad]	比率 [-]
固定支座	32.6	32.2	0.988	32.4	0.994	32.7	1.003
叉形支座	69.9	68.5	0.979	69.9	1.000	68.8	0.999

支座	解析解	ANSYS 13		RFEM 5, RF-FE-LTB (构件)		RFEM 5 (板)
支座	φ_x(L/2) [mrad]	φ_x(L/2) [mrad]	比率 [-]	φ_x(L/2) [mrad]	比率 [-]	φ_x(L/2) [mrad]	比率 [-]
固定支座	32.6	32.2	0.988	32.6	1.000	32.5	0.974
叉形支座	69.9	68.5	0.979	69.9	1.000	68.1	0.974

备注 1：使用板模型的解被用作翘曲效应的演示。相对误差也部分源于叉形支座的近似处理。

备注 2：ANSYS 13 中的数值解由 Designtec s.r.o. 公司实施。物理量 M_Tpri 和 M_Tsec 并非 ANSYS 13 的原始结果。它们是根据翘曲力矩 M_ω 计算得出的。因此，不应将它们视为完全精确的值。ANSYS 13 中使用了 BEAM188 单元。

验算示例 0053 | 1

参考

LUMPE, G. 和 GENSICHEN, V. 线性和非线性杆件静力学的理论与软件评估：测试案例、误差原因、精确理论。Ernst，2014。
Timoshenko, S. & Gere, JM M.; Theory of Elastic Stability, 2. Auflage. New York: McGraw-Hill, 1961

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