Descrição
Uma viga em balanço de perfil I está apoiada na extremidade esquerda (x=0) e é carregada pelo torque M de acordo com o seguinte esboço. O objetivo deste exemplo é comparar o apoio fixo com o apoio garfo e investigar o comportamento de algumas grandezas representativas. A comparação com a solução por meio de placas também é feita. O exemplo de verificação é baseado no exemplo introduzido por Gensichen e Lumpe (ver referência). Pequenas deformações são consideradas e o peso próprio é desprezado. Determine a rotação no meio do balanço φx(L/2) e, no caso da entidade de barra com empenamento, determine os valores do momento torsor primário MTpri, do momento torsor secundário MTsec e do momento de empenamento Mω, tanto na extremidade esquerda (ponto A) como na extremidade direita (ponto B). O problema é descrito pelo seguinte conjunto de parâmetros.
| Material | Aço | Módulo de Elasticidade | E | 210000.000 | MPa |
| Módulo de Cisalhamento | G | 81000.000 | MPa | ||
| Geometria | Balanço | Comprimento | L | 5.000 | m |
| Seção transversal | Altura | h | 400.000 | mm | |
| Largura | b | 180.000 | mm | ||
| Espessura da Alma | s | 10.000 | mm | ||
| Espessura da Mesa | t | 14.000 | mm | ||
| Carregamento | Momento | M | 1.000 | kNm | |
Solução Analítica
Ao considerar o cálculo de barra com empenamento, o momento torsor total MT é dividido entre o momento torsor primário MTpri e o momento torsor secundário MTsec.
A equação pode ser expressa da seguinte forma:
Esta é a equação diferencial completa da torção. Pode ser resolvida pelo método dos parâmetros iniciais e resulta em equações para a rotação φx, torção relativa φ'x e momento de empenamento Mω, momento torsor primário MTpri e momento torsor secundário MTsec.
O empenamento é restringido quando o apoio fixo é considerado. As condições de contorno neste caso são: φ(0)=0, φ'(0)=0, MT(0)=M, Mω(L)=0.
Quando o apoio garfo é considerado, o empenamento é permitido e as condições de contorno são as seguintes: φ(0)=0, Mω(0)=0, MT(0)=M, Mω(L)=0.
Usando essas condições de contorno, a rotação φ(x) resulta na fórmula bem conhecida.
Configurações do RFEM
- Modelado no RFEM 5.05 e RFEM 6.01
- O tamanho do elemento é lFE= 0.025 m
- É utilizado um modelo de material elástico linear isotrópico
- É utilizada a teoria de flexão de placas de Kirchhoff
- O módulo Torção com Empenamento e Dimensionamento de Aço é utilizado no RFEM 6
Resultados
Nos gráficos seguintes, são mostrados os comportamentos do momento torsor total MT, do momento torsor primário MTpri, do momento torsor secundário MTsec e do momento de empenamento Mω calculados no RFEM 6 e RFEM 5, módulo RF-FE-LTB, quando o apoio fixo é considerado. Os valores em ambas as extremidades da viga em balanço são comparados com a solução analítica e com a solução no ANSYS 13.
| Ponto A (x=0) | Solução Analítica | ANSYS 13 | Relação | RFEM 6 | Relação | RFEM RF-FE-LTB | Relação |
| MTpri [kNm] | 0.000 | 0.008 | - | 0.000 | - | 0.000 | - |
| MTsec [kNm] | 1.000 | 0.992 | 0.992 | 1.000 | 1.000 | 1.000 | 1.000 |
| Mω [kNm] | -1.714 | -1.683 | 0.989 | -1.743 | 1.017 | -1.714 | 1.000 |
| Ponto B (x=L) | Solução Analítica | ANSYS 13 | Relação | RFEM 6 | Relação | RFEM RF-FE-LTB | Relação |
| MTpri [kNm] | 0.890 | 0.893 | 1.003 | 0.869 | 0.976 | 0.890 | 1.000 |
| MTsec [kNm] | 0.110 | 0.107 | 0.973 | 0.131 | 1.191 | 0.110 | 1.000 |
| Mω [kNm] | 0.000 | 0.001 | - | 0.000 | - | 0.000 | - |
A rotação calculada em torno do eixo x pode ser comparada com os resultados quando o apoio garfo é considerado e também com modelos de placa, que levam naturalmente em conta o empenamento. A rotação na metade do comprimento φ(L/2) é usada devido à área afetada nas proximidades do ponto de aplicação da carga no caso de modelos de placa. A definição do apoio garfo no caso do modelo de placa é complicada, porque o momento de empenamento tem que ser igual a zero. Esta condição de contorno não pode ser definida diretamente no RFEM 5 / RFEM 6. A aproximação utilizada é mostrada na seguinte figura. A rotação em torno do eixo x é restringida em todas as bordas do apoio. Apenas o nó central (no eixo) está totalmente fixo. No caso do apoio fixo, todas as bordas do apoio estão fixas.
| Apoio | Solução Analítica | ANSYS 13 | RFEM 6 (Barra) | RFEM 6 (Placa) | |||
| φx(L/2) [mrad] | φx(L/2) [mrad] | Relação [-] | φx(L/2) [mrad] | Relação [-] | φx(L/2) [mrad] | Relação [-] | |
| Apoio Fixo | 32.6 | 32.2 | 0.988 | 32.4 | 0.994 | 32.7 | 1.003 |
| Apoio Garfo | 69.9 | 68.5 | 0.979 | 69.9 | 1.000 | 68.8 | 0.999 |
| Apoio | Solução Analítica | ANSYS 13 | RFEM 5, RF-FE-LTB (Barra) | RFEM 5 (Placa) | |||
| φx(L/2) [mrad] | φx(L/2) [mrad] | Relação [-] | φx(L/2) [mrad] | Relação [-] | φx(L/2) [mrad] | Relação [-] | |
| Apoio Fixo | 32.6 | 32.2 | 0.988 | 32.6 | 1.000 | 32.5 | 0.974 |
| Apoio Garfo | 69.9 | 68.5 | 0.979 | 69.9 | 1.000 | 68.1 | 0.974 |
Observação 1: A solução com modelos de placa é usada como demonstração do efeito de empenamento. O erro relativo é causado também pela aproximação do apoio garfo.
Observação 2: A solução numérica no ANSYS 13 foi realizada pela empresa Designtec s.r.o. As grandezas MTpri e MTsec não são resultados originais do ANSYS 13. São calculadas a partir do momento de empenamento Mω. Portanto, não devem ser consideradas como valores totalmente precisos. Elementos BEAM188 são usados no ANSYS 13.
