Descrizione
Una mensola con profilo a I è supportata all'estremità sinistra (x=0) ed è caricata dal momento torcente M secondo il seguente schizzo. Lo scopo di questo esempio è confrontare il supporto fisso con il supporto a forcella e studiare il comportamento di alcune grandezze rappresentative. Viene inoltre effettuato il confronto con la soluzione mediante piastre. L'esempio di verifica si basa sull'esempio introdotto da Gensichen e Lumpe (vedere il riferimento). Si considerano piccole deformazioni e si trascura il peso proprio. Determinare la rotazione a metà della mensola φx(L/2) e, nel caso dell'entità asta con ingobbamento, determinare i valori del momento torcente primario MTpri, del momento torcente secondario MTsec e del momento di ingobbamento Mω sia all'estremità sinistra (punto A) che all'estremità destra (punto B). Il problema è descritto dal seguente insieme di parametri.
| Materiale | Acciaio | Modulo di Elasticità | E | 210000.000 | MPa |
| Modulo di Taglio | G | 81000.000 | MPa | ||
| Geometria | Mensola | Lunghezza | L | 5.000 | m |
| Sezione trasversale | Altezza | h | 400.000 | mm | |
| Larghezza | b | 180.000 | mm | ||
| Spessore dell'anima | s | 10.000 | mm | ||
| Spessore dell'ala | t | 14.000 | mm | ||
| Carico | Momento | M | 1.000 | kNm | |
Soluzione Analitica
Considerando il calcolo dell'asta con ingobbamento, il momento torcente totale MT è suddiviso tra il momento torcente primario MTpri e il momento torcente secondario MTsec.
L'equazione può essere espressa come segue:
Questa è l'equazione differenziale completa della torsione. Può essere risolta con il metodo dei parametri iniziali e fornisce equazioni per la rotazione φx, la rotazione relativa φ'x e il momento di ingobbamento Mω, il momento torcente primario MTpri e il momento torcente secondario MTsec.
L'ingobbamento è impedito quando si considera il supporto fisso. Le condizioni al contorno in questo caso sono: φ(0)=0, φ'(0)=0, MT(0)=M, Mω(L)=0.
Quando si considera il supporto a forcella, l'ingobbamento è consentito e le condizioni al contorno sono le seguenti: φ(0)=0, Mω(0)=0, MT(0)=M, Mω(L)=0.
Utilizzando queste condizioni al contorno, la rotazione φ(x) risulta nella ben nota formula.
Impostazioni RFEM
- Modellato in RFEM 5.05 e RFEM 6.01
- La dimensione dell'elemento è lFE= 0.025 m
- Viene utilizzato un modello di materiale isotropo lineare elastico
- Viene utilizzata la teoria di flessione delle piastre di Kirchhoff
- Vengono utilizzati gli add-on Torsional Warping e Steel Design in RFEM 6
Risultati
Nei grafici seguenti sono mostrati gli andamenti del momento torcente totale MT, del momento torcente primario MTpri, del momento torcente secondario MTsec e del momento di ingobbamento Mω calcolati in RFEM 6 e RFEM 5, modulo RF-FE-LTB, quando si considera il supporto fisso. I valori su entrambe le estremità della mensola sono confrontati con la soluzione analitica e la soluzione in ANSYS 13.
| Punto A (x=0) | Soluzione Analitica | ANSYS 13 | Rapporto | RFEM 6 | Rapporto | RFEM RF-FE-LTB | Rapporto |
| MTpri [kNm] | 0.000 | 0.008 | - | 0.000 | - | 0.000 | - |
| MTsec [kNm] | 1.000 | 0.992 | 0.992 | 1.000 | 1.000 | 1.000 | 1.000 |
| Mω [kNm] | -1.714 | -1.683 | 0.989 | -1.743 | 1.017 | -1.714 | 1.000 |
| Punto B (x=L) | Soluzione Analitica | ANSYS 13 | Rapporto | RFEM 6 | Rapporto | RFEM RF-FE-LTB | Rapporto |
| MTpri [kNm] | 0.890 | 0.893 | 1.003 | 0.869 | 0.976 | 0.890 | 1.000 |
| MTsec [kNm] | 0.110 | 0.107 | 0.973 | 0.131 | 1.191 | 0.110 | 1.000 |
| Mω [kNm] | 0.000 | 0.001 | - | 0.000 | - | 0.000 | - |
La rotazione calcolata attorno all'asse x può essere confrontata con i risultati quando si considera il supporto a forcella e anche con i modelli a piastra, che tengono naturalmente conto dell'ingobbamento. Si utilizza la rotazione a metà lunghezza φ(L/2) a causa dell'area influenzata in prossimità del punto di applicazione del carico nel caso dei modelli a piastra. La definizione del supporto a forcella nel caso del modello a piastra è complicata, perché il momento di ingobbamento deve essere uguale a zero. Questa condizione al contorno non può essere impostata direttamente in RFEM 5 / RFEM 6. L'approssimazione utilizzata è mostrata nella figura seguente. La rotazione attorno all'asse x è impedita su tutti i bordi del supporto. Solo il nodo centrale (sull'asse) è completamente fisso. Nel caso del supporto fisso, tutti i bordi del supporto sono fissi.
| Supporto | Soluzione Analitica | ANSYS 13 | RFEM 6 (Asta) | RFEM 6 (Piastra) | |||
| φx(L/2) [mrad] | φx(L/2) [mrad] | Rapporto [-] | φx(L/2) [mrad] | Rapporto [-] | φx(L/2) [mrad] | Rapporto [-] | |
| Supporto Fisso | 32.6 | 32.2 | 0.988 | 32.4 | 0.994 | 32.7 | 1.003 |
| Supporto a Forcella | 69.9 | 68.5 | 0.979 | 69.9 | 1.000 | 68.8 | 0.999 |
| Supporto | Soluzione Analitica | ANSYS 13 | RFEM 5, RF-FE-LTB (Asta) | RFEM 5 (Piastra) | |||
| φx(L/2) [mrad] | φx(L/2) [mrad] | Rapporto [-] | φx(L/2) [mrad] | Rapporto [-] | φx(L/2) [mrad] | Rapporto [-] | |
| Supporto Fisso | 32.6 | 32.2 | 0.988 | 32.6 | 1.000 | 32.5 | 0.974 |
| Supporto a Forcella | 69.9 | 68.5 | 0.979 | 69.9 | 1.000 | 68.1 | 0.974 |
Nota 1: La soluzione con modelli a piastra viene utilizzata come dimostrazione dell'effetto di ingobbamento. L'errore relativo è causato anche dall'approssimazione del supporto a forcella.
Nota 2: La soluzione numerica in ANSYS 13 è stata eseguita dalla società Designtec s.r.o. Le grandezze MTpri e MTsec non sono i risultati originali di ANSYS 13. Sono calcolate a partire dal momento di ingobbamento Mω. Pertanto non devono essere considerate come valori interamente accurati. In ANSYS 13 vengono utilizzati elementi BEAM188.
