Description
Une console en profilé en I est encastrée à son extrémité gauche (x=0) et chargée par un couple de torsion M selon le schéma suivant. L'objectif de cet exemple est de comparer l'encastrement rigide avec l'appui à fourche et d'étudier le comportement de certaines grandeurs représentatives. La comparaison avec la solution utilisant des éléments plaques est également effectuée. Cet exemple de vérification est basé sur l'exemple introduit par Gensichen et Lumpe (voir la référence). Les petites déformations sont considérées et le poids propre est négligé. Déterminez la rotation au milieu de la console φx(L/2) et, dans le cas de l'élément barre avec gauchissement, déterminez les valeurs du moment de torsion primaire MTpri, du moment de torsion secondaire MTsec et du moment de gauchissement Mω à l'extrémité gauche (point A) et à l'extrémité droite (point B). Le problème est décrit par l'ensemble de paramètres suivant.
| Matériau | Acier | Module d'Élasticité | E | 210000.000 | MPa |
| Module de Cisaillement | G | 81000.000 | MPa | ||
| Géométrie | Console | Longueur | L | 5.000 | m |
| Section | Hauteur | h | 400.000 | mm | |
| Largeur | b | 180.000 | mm | ||
| Épaisseur de l'âme | s | 10.000 | mm | ||
| Épaisseur de la semelle | t | 14.000 | mm | ||
| Charge | Moment | M | 1.000 | kNm | |
Solution Analytique
Lors de l'analyse d'un élément barre avec gauchissement, le moment de torsion total MT est divisé entre le moment de torsion primaire MTpri et le moment de torsion secondaire MTsec.
L'équation peut être exprimée comme suit :
Ceci est l'équation différentielle complète de la torsion. Elle peut être résolue par la méthode des paramètres initiaux et conduit aux équations pour la rotation φx, la rotation relative φ'x, le moment de gauchissement Mω, le moment de torsion primaire MTpri et le moment de torsion secondaire MTsec.
Le gauchissement est empêché lorsque l'encastrement rigide est utilisé. Les conditions aux limites dans ce cas sont : φ(0)=0, φ'(0)=0, MT(0)=M, Mω(L)=0.
Lorsque l'appui à fourche est utilisé, le gauchissement est permis et les conditions aux limites sont les suivantes : φ(0)=0, Mω(0)=0, MT(0)=M, Mω(L)=0.
En utilisant ces conditions aux limites, la rotation φ(x) aboutit à la formule bien connue.
Paramètres de RFEM
- Modélisé dans RFEM 5.05 et RFEM 6.01
- La taille de l'élément est lFE= 0.025 m
- Un modèle de matériau élastique linéaire isotrope est utilisé
- La théorie de flexion des plaques de Kirchhoff est utilisée
- Le module additionnel Torsional Warping and Steel Design est utilisé dans RFEM 6
Résultats
Les graphiques suivants montrent les comportements du moment de torsion total MT, du moment de torsion primaire MTpri, du moment de torsion secondaire MTsec et du moment de gauchissement Mω calculés dans RFEM 6 et RFEM 5, module RF-FE-LTB, lorsque l'encastrement rigide est considéré. Les valeurs aux deux extrémités de la console sont comparées à la solution analytique et à la solution ANSYS 13.
| Point A (x=0) | Solution Analytique | ANSYS 13 | Ratio | RFEM 6 | Ratio | RFEM RF-FE-LTB | Ratio |
| MTpri [kNm] | 0.000 | 0.008 | - | 0.000 | - | 0.000 | - |
| MTsec [kNm] | 1.000 | 0.992 | 0.992 | 1.000 | 1.000 | 1.000 | 1.000 |
| Mω [kNm] | -1.714 | -1.683 | 0.989 | -1.743 | 1.017 | -1.714 | 1.000 |
| Point B (x=L) | Solution Analytique | ANSYS 13 | Ratio | RFEM 6 | Ratio | RFEM RF-FE-LTB | Ratio |
| MTpri [kNm] | 0.890 | 0.893 | 1.003 | 0.869 | 0.976 | 0.890 | 1.000 |
| MTsec [kNm] | 0.110 | 0.107 | 0.973 | 0.131 | 1.191 | 0.110 | 1.000 |
| Mω [kNm] | 0.000 | 0.001 | - | 0.000 | - | 0.000 | - |
La rotation calculée autour de l'axe x peut être comparée aux résultats obtenus lorsque l'appui à fourche est considéré, ainsi qu'aux modèles de plaques, qui prennent naturellement en compte le gauchissement. La rotation à mi-longueur φ(L/2) est utilisée en raison de la zone affectée à proximité du point d'application de la charge dans le cas des modèles de plaques. La définition de l'appui à fourche dans le cas du modèle de plaque est compliquée, car le moment de gauchissement doit être égal à zéro. Cette condition aux limites ne peut pas être définie directement dans RFEM 5 / RFEM 6. L'approximation utilisée est montrée dans la figure suivante. La rotation autour de l'axe x est bloquée sur tous les bords de l'appui. Seul le nœud central (sur l'axe) est complètement fixé. Dans le cas de l'encastrement rigide, tous les bords de l'appui sont fixés.
| Appui | Solution Analytique | ANSYS 13 | RFEM 6 (Barre) | RFEM 6 (Plaque) | |||
| φx(L/2) [mrad] | φx(L/2) [mrad] | Ratio [-] | φx(L/2) [mrad] | Ratio [-] | φx(L/2) [mrad] | Ratio [-] | |
| Encastrement Rigide | 32.6 | 32.2 | 0.988 | 32.4 | 0.994 | 32.7 | 1.003 |
| Appui à Fourche | 69.9 | 68.5 | 0.979 | 69.9 | 1.000 | 68.8 | 0.999 |
| Appui | Solution Analytique | ANSYS 13 | RFEM 5, RF-FE-LTB (Barre) | RFEM 5 (Plaque) | |||
| φx(L/2) [mrad] | φx(L/2) [mrad] | Ratio [-] | φx(L/2) [mrad] | Ratio [-] | φx(L/2) [mrad] | Ratio [-] | |
| Encastrement Rigide | 32.6 | 32.2 | 0.988 | 32.6 | 1.000 | 32.5 | 0.974 |
| Appui à Fourche | 69.9 | 68.5 | 0.979 | 69.9 | 1.000 | 68.1 | 0.974 |
Remarque 1 : La solution avec les modèles de plaques est utilisée pour démontrer l'effet du gauchissement. L'erreur relative est également due à l'approximation de l'appui à fourche.
Remarque 2 : La solution numérique dans ANSYS 13 a été réalisée par la société Designtec s.r.o. Les grandeurs MTpri et MTsec ne sont pas les résultats originaux d'ANSYS 13. Elles sont calculées à partir du moment de gauchissement Mω. Par conséquent, elles ne doivent pas être considérées comme des valeurs entièrement exactes. Les éléments BEAM188 sont utilisés dans ANSYS 13.
