Approcci alla verifica per la determinazione della resistenza a rottura del terreno secondo l'Eurocodice 7 (EN 1997-1)

Nell'Eurocodice 7 esistono tre metodi di verifica per la determinazione della sicurezza contro rottura del terreno.

• Metodo 1

• Metodo 2

• Metodo 3

In questo articolo, i metodi vengono confrontati sul modello di una platea di fondazione con pilastro. Le differenze tra i singoli metodi risiedono nei coefficienti parziali di sicurezza, che influiscono su diverse grandezze. Tra queste figurano le azioni o sollecitazioni, i parametri caratteristici del terreno e le resistenze. È importante ricordare che queste riduzioni o aumenti compaiono in parte anche in combinazione nei metodi. Inoltre, l'Appendice nazionale tedesca descrive regole speciali per l'applicazione del Metodo 2, che nella letteratura specialistica è indicato come Metodo di verifica 2* o 2+. Di seguito e in RFEM 6, per questo metodo viene utilizzata la denominazione 2*.

Sistema platea di fondazione con pilastro

Fondazione quadrata con colonna

Platea di fondazione

• Lunghezza: w_x = 2,50 m
• Larghezza: w_y = 2,50 m
• Spessore: t = 1,00 m
• Profondità di incastro: D = 1,00 m
• Peso proprio G_p,k = 156,25 kN con γ = 25 kN/m³

Pilastro

• Lunghezza: c_x = 0,50 m
• Larghezza: c_y = 0,50 m
• Altezza: h = 4,00 m
• Peso proprio: G_c,k = 25 kN con γ = 25 kN/m³

Parametri del terreno

• Angolo di attrito: φ'_d = 32°
• Parametro di taglio coesione: c'_k = 15 kN/m²
• Densità del terreno accanto alla platea di fondazione: γ_1,k 20 kN/m³
• Densità del terreno al di sotto della platea di fondazione: γ_2,k = 20 kN/m³

Caso di carico 1 - Carichi permanenti

• Verticale: V_G,z,k = 975 kN

Caso di carico 1 – Carichi permanenti

Inclusi il peso proprio del pilastro G_c,k = 25 kN e della fondazione G_p,k = 156,25 kN, la somma dei carichi verticali permanenti ammonta a V_G,k,ges = 156,25 kN + 25 kN + 975 kN = 1156,25 kN. Il peso proprio della fondazione viene considerato automaticamente con il peso proprio della struttura, se la spunta è impostata su "Peso proprio attivo". Se il peso proprio deve essere inserito manualmente, per la fondazione devono essere definiti carichi aggiuntivi.

Finestra di dialogo "Casi di carico e combinazioni" | Impostazione "Peso proprio attivo"

Caso di carico 2 - Carichi variabili

• Verticale: V_Q,z,k = 1000 kN
• Orizzontale: H_Q,x,k = 190 kN

Caso di carico 2 – Carichi variabili

Coefficienti parziali di sicurezza

Nella tabella seguente sono mostrati i coefficienti parziali di sicurezza secondo EN 1997-1, A.3.

Metodo 1

In questo metodo di verifica vengono utilizzati due diversi set di coefficienti parziali di sicurezza.

Nella prima Combinazione 1-1 vengono impiegati i coefficienti parziali di sicurezza A1, M1 e R1, dove A1 (γ_G = 1,35; γ_Q = 1,5) aumenta le azioni sfavorevoli sulla fondazione, mentre M1 (γ'_φ = γ'_c = γ_γ = 1,00) non riduce i parametri del terreno e R1 (γ_R;v = γ_R;h = 1,00) non riduce le resistenze.

Nella seconda Combinazione 1-2 vengono utilizzati A2, M2 e R1, dove A2 (γ_G = 1,00; γ_Q = 1,30) aumenta le azioni meno fortemente di A1, mentre M2 (γ'_φ = γ'_c = 1,25; γ_γ = 1,00) riduce i parametri del terreno, riducendo così la resistenza del terreno contro una rottura del terreno.

Per la verifica, il calcolo deve essere eseguito con entrambi i set di coefficienti parziali di sicurezza, dove il set con il tasso di lavoro più alto è determinante.

Metodo 1 (Combinazione 1-1) secondo EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

Calcolo della resistenza al cuscinetto

Eccentricità e_x del carico verticale efficace nella direzione x

La forza trasversale di progetto con carichi di fondazione aggiuntivi V_z,+add e il valore del momento flettente di progetto risultante M_y,+add nel centro della base della fondazione sono necessari per determinare l'Eccentricità dei carichi verticali efficaci.

V_z,+add,d = γ_G ⋅ V_G,k + γ_Q ⋅ V_Q,k = 1,35 ⋅ 1156,25 kN + 1,5 ⋅ 1000 kN = 3060,94 kN

H_Q,x,d = γ_Q ⋅ H_Q,x,k = 1,50 ⋅ 190 kN = 285 kN

M_y,+add,d = (t + h) ⋅ H_Q,x,d = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 285 kN = 1425 kNm

e_x = -M_y,+add,d / V_z,+add,d = -1425 kNm / 3060,94 kN = -0,466 m

Lunghezza, Larghezza e Area di base efficaci

L'area di fondazione computabile viene ridotta dal carico eccentrico.

w_x - 2 ⋅ |e_x| = 2,50 m - 2 ⋅ 0,466 m = 1,569 m

w_y - 2 ⋅ |e_y| = 2,50 m - 2 ⋅ 0,000 m = 2,500 m

Lunghezza efficace: L' = max(w_x - 2 ⋅ |e_x|; w_y - 2 ⋅ |e_y|) = 2,500 m

Larghezza efficace: B' = min(w_x - 2 ⋅ |e_x|; w_y - 2 ⋅ |e_y|) = 1,569 m

Area efficace: A' = L' ⋅ B' = 2,500 m ⋅ 1,569 m = 3,922 m²

Visualisierung der rechnerischen Sohllänge, -Breite und Fläche

Parametri del terreno da utilizzare

Angolo di attrito: φ'_d = arctan(tan(φ'_k ) / γ'_φ ) = arctan(tan(32°) / 1,00) = 32°

Parametro di taglio coesione: c'_d = c'_k / γ'_c = 15 kN/m² / 1,00 = 15 kN/m²

Densità del terreno: γ_1d = γ_2d = γ_1k / γ_γ = γ_2k / γ_γ = 20 kN/m³ / 1,00 = 20 kN/m³

L'angolo di attrito φ' descrive l'angolo al quale la resistenza al taglio di un terreno viene raggiunta per attrito tra i componenti del terreno. Al contrario, la coesione c' si riferisce alla quota della resistenza al taglio che nasce dalle forze di legame interne tra i componenti del terreno – indipendentemente dalla Tensione applicata. Entrambi i parametri giocano un ruolo centrale nella determinazione della resistenza al taglio di un terreno in diverse condizioni di carico. La densità del terreno accanto alla platea di fondazione è indicata con γ_1d, la densità del terreno al di sotto della platea di fondazione con γ_2d.

Coefficienti di capacità portante

N_q = e^{π ⋅ tan(φ‘_d)} ⋅ tan²(45°+φ‘_d / 2) = e^{π ⋅ tan(32°)} ⋅ tan²(45° + 32° / 2) = 23,18

Il coefficiente N_q tiene conto della capacità portante dovuta al peso proprio del terreno.

N_c = (N_q - 1) ⋅ cot(φ‘_d ) = (23,18 kN - 1) ⋅ cot(32°) = 35,49

Il coefficiente N_c tiene conto della capacità portante dovuta alla coesione del terreno.

N_γ = 2 ⋅ (N_q - 1) ⋅ tan(φ‘_d) = 2 ⋅ (23,18 kN - 1) ⋅ tan(32°) = 27,72 con δ ≥ φ'_d / 2 (superficie di base ruvida)

Il coefficiente N_γ tiene conto della capacità portante dovuta alla resistenza al taglio del terreno.

Inclinazione della superficie di base

b_q = (1 - α ⋅ tan(φ'_d))² = (1 - 0)² = 1

b_c = b_q - (1 - b_q) / (N_c ⋅ tan(φ'_d)) = 1 - 0 = 1

b_γ = b_q = 1

In questo esempio, l'inclinazione della superficie di base è α = 0° e di conseguenza non ha alcuna influenza sulla verifica a rottura del terreno.

Coefficienti di forma per sezioni rettangolari

Le formule per altre sezioni trasversali sono da ricavare dall'Eurocodice 1997-1, D.4.

s_q = 1 + B' / L' ⋅ sin(φ’_d) = 1 + 1,569 m / 2,50 m ⋅ sin(32°) = 1,333

s_c = (s_q ⋅ N_q - 1) / (N_q - 1) = (1,333 ⋅ 23,18 - 1) / (23,18 - 1) = 1,348

s_γ = 1 - 0,3 ⋅ B' / L' = 1 - 0,3 ⋅ 1,569 m / 2,50 m = 0,812

Coefficienti di inclinazione

m = (2 + L' / B') / (1 + L' / B') ⋅ cos²(ω) + (2 + B' / L') / (1 + B' / L') ⋅ sin²(ω) = 0 + (2 + 1,569 m / 2,500 m) / (1 + 1,569 m / 2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,614

i_q = (1 - H_d / (V_d + A' ⋅ c'_d ⋅ cot(φ‘_d)))^m = (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 15kN/m² ⋅ cot(32°)))^1,614 = 0,858

i_c = i_q - (1 - i_q) / (N_c ⋅ tan(φ'_d)) = 0,858 - (1 - 0,858) / (35,49 ⋅ tan(32°)) = 0,852

i_γ = (1 - H_d / (V_d + A' ⋅ c'_d ⋅ cot(φ'_d)))^m+1 = (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 15kN/m² ⋅ cot(32°)))^1,614+1 = 0,781

Il coefficiente di inclinazione dipende dall'angolo ω .

Angolo di inclinazione delle forze e relazioni geometriche per la determinazione dei coefficienti di inclinazione

Resistenza al cuscinetto

Influenza della profondità di fondazione (terreno accanto alla fondazione e carichi aggiuntivi):

σ_R,q = q'_d ⋅ N_q ⋅ b_q ⋅ s_q ⋅ i_q = 20 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,333 ⋅ 0,858 = 530,14 kN/m² con q'_d = γ_1d ⋅ D

Influenza della coesione:

σ_R,c = c'_d ⋅ N_c ⋅ b_c ⋅ s_c ⋅ i_c = 15 kN/m² ⋅ 35,49 ⋅ 1 ⋅ 1,348 ⋅ 0,852 = 611,11 kN/m²

Influenza della larghezza di fondazione (terreno sotto la fondazione):

σ_R,γ = 0,5 ⋅ γ'_d ⋅ B' ⋅ N_γ ⋅ b_γ ⋅ s_γ ⋅ i_γ = 0,5 ⋅ 20 kN/m³ ⋅ 1,569 m ⋅ 27,72 ⋅ 1 ⋅ 0,812 ⋅ 0,781 = 275,57 kN/m² con γ'_d = γ_2d

Pressione del terreno ammissibile:

σ_R,k = R_k / A' = σ_s,q + σ_s,c + σ_s,γ = 530,14 kN/m² + 611,11 kN/m² + 275,57 kN/m² = 1416,83 kN/m²

σ_R,d = σ_s,k / γ_R;v = 1416,83 kN/m² / 1,00 = 1416,83 kN/m²

Pressione del terreno presente:

σ_E,d = V_d / A' = 3060,94 kN / 3,922 m² = 780,40 kN/m²

Tasso di lavoro

η₁ = σ_E,d / σ_R,d = 780,40 kN/m² / 1416,83 kN/m² = 0,551 ≤ 1

Approccio alla verifica 1 (Combinazione 1-1)

Metodo 1 (Combinazione 1-2) secondo EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

Calcolo della resistenza al cuscinetto

Eccentricità e_x del carico verticale efficace nella direzione x

V_z,+add,d = 1,00 ⋅ 1156,25 kN + 1,30 ⋅ 1000 kN = 2456,25 kN

H_Q,x,d = 1,30 ⋅ 190 kN = 247 kN

M_y,+add,d = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 247 kN = 1235 kNm

e_x = -1235 kNm / 2456,25 kN = -0,503 m

Lunghezza, Larghezza e Area di base efficaci

Lunghezza efficace: L' = max⁡(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,503 m) = 2,500 m

Larghezza efficace: B' = min⁡(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,503 m) = 1,494 m

Area efficace: A' = 2,500 m ⋅ 1,494 m = 3,736 m²

Parametri del terreno da utilizzare

Angolo di attrito: φ'_d = arctan(tan(32°)/1,25) = 26,56°

Parametro di taglio coesione: c'_d = 15 kN/m²/ 1,25 = 12 kN/m²

Densità del terreno: γ_1d = γ_2d = 20 kN/m³ / 1,00 = 20 kN/m³

Coefficienti di capacità portante

N_q = e^{π ⋅ tan(26,56°)} ⋅ tan²(45° + 26,56° / 2) = 12,59

N_c = (12,59 kN - 1) ⋅ cot(26,56°) = 23,18

N_γ = 2 ⋅ (12,59 kN - 1) ⋅ tan(26,56°) = 11,59 con δ ≥ φ'_d / 2 (superficie di base ruvida)

Inclinazione della superficie di base

b_q = b_c = b_γ = 1 poiché α = 0°

Coefficienti di forma per sezioni rettangolari

s_q = 1 + 1,494 m / 2,500 m ⋅ sin(26,56°) = 1,267

s_c = (1,267 ⋅ 12,59-1) / (12,59 - 1) = 1,290

s_γ = 1 - 0,3 ⋅ 1,494 m / 2,500 m = 0,821

Coefficienti di inclinazione

m = 0 + (2 + 1,494 m / 2,500 m) / (1 + 1,494 m / 2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,626

i_q = (1 - 247 kN / (2456,25 kN + 3,736 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(26,56°)))^1,626 = 0,847

i_c = 0,847 - (1 - 0,847) / (12,59 ⋅ tan(26,56°)) = 0,834

i_γ = (1 - 247 kN / (2456,25 kN + 3,736 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(26,56°)))^{1,626 + 1} = 0,765

Resistenza al cuscinetto

Influenza della profondità di fondazione (terreno accanto alla fondazione e carichi aggiuntivi):

σ_R,q = 20 kN/m² ⋅ 12,59 ⋅ 1 ⋅ 1,267 ⋅ 0,847 = 270,26 kN/m² con q'_d = γ_1d ⋅ D

Influenza della coesione:

σ_R,c = 12 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,1290 ⋅ 0,834 = 299,31 kN/m²

Influenza della larghezza di fondazione (terreno sotto la fondazione):

σ_R,γ = 0,5 ⋅ 20 kN/m³ ⋅ 1,494 m ⋅ 11,59 ⋅ 1 ⋅ 0,821 ⋅ 0,765 = 108,68 kN/m² con γ'_d = γ_2d

Pressione del terreno ammissibile:

σ_R,k = σ_R,d = 270,26 kN/m² + 299,31 kN/m² + 108,68 kN/m² = 678,25 kN/m²

Pressione del terreno presente:

σ_E,d = 2456,25 kN / 3,736 m² = 657,45 kN/m²

Tasso di lavoro

η₂ = 657,45 kN/m² / 678,25 kN/m² = 0,969 ≤ 1

Approccio alla verifica 1 (Combinazione 1-2)

Verifica Metodo 1

η = max(η₁; η₂) = max(0,551; 0,969) = 0,969 ≤ 1

Metodo 2 secondo EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

In questo metodo di verifica viene utilizzato un set di coefficienti parziali di sicurezza A1, M1 e R2, dove A1 (γ_G = 1,35; γ_Q = 1,5) aumenta le azioni sfavorevoli sulla fondazione, mentre M1 (γ'_φ = γ'_c = γ_γ = 1,00) non riduce i parametri del terreno. R2 (γ_R;v = γ_R;h = 1,40) riduce invece le resistenze.

Calcolo della resistenza al cuscinetto

Eccentricità e_x del carico verticale efficace nella direzione x

V_z,+add,d = 1,35 ⋅ 1156,25 kN + 1,50 ⋅ 1000 kN = 3060,94 kN

H_Q,x,d = 1,50 ⋅ 190 kN = 285 kN

M_y,+add,d = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 285 kN = 1425 kNm

e_x = -1425 kNm / 3060,94 kN = -0,466 m

Lunghezza, Larghezza e Area di base efficaci

Lunghezza efficace: L' = max(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,466 m) = 2,500 m

Larghezza efficace: B' = min(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,466 m) = 1,569 m

Area efficace: A' = 2,500 m ⋅ 1,569 m = 3,922 m²

Parametri del terreno da utilizzare

Angolo di attrito: φ'_d = 32°

Parametro di taglio coesione: c'_d = 15 kN/m²

Densità del terreno: γ_1d = γ_2d = 20 kN/m³

Coefficienti di capacità portante

N_q = e^{π ⋅ tan(32°)} ⋅ tan²(45° + 32° / 2) = 23,18

N_c = (23,18 kN - 1) ⋅ cot(32°) = 35,49

N_γ = 2 ⋅ (23,18 kN - 1) ⋅ tan(32°) = 27,72 con δ ≥ φ‘_d / 2 (superficie di base ruvida)

Inclinazione della superficie di base

b_q = b_c = b_γ = 1 poiché α = 0°

Coefficienti di forma per sezioni rettangolari

s_q = 1 + 1,569 m / 2,500 m ⋅ sin(32°) = 1,333

s_c = (1,333 ⋅ 23,18-1) / (23,18-1) = 1,348

s_γ = 1 - 0,3 ⋅ 1,569 m / 2,500 m = 0,812

Coefficienti di inclinazione

m = 0 + (2 + 1,569 m / 2,500 m) / (1 + 1,569 m / 2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,614

i_q = (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(32°) ))^1,614 = 0,858

i_c = 0,858 - (1 - 0,858) / (23,18 ⋅ tan(32°)) = 0,852

i_γ = (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(32°)))^{1,614 + 1} = 0,781

Resistenza al cuscinetto

Influenza della profondità di fondazione (terreno accanto alla fondazione e carichi aggiuntivi):

σ_R,q = 20 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,333 ⋅ 0,858 = 530,14 kN/m² con q‘_d = γ_1d ⋅ D

Influenza della coesione:

σ_R,c = 15 kN/m² ⋅ 35,49 ⋅ 1 ⋅ 1,1290 ⋅ 0,852 = 611,11 kN/m²

Influenza della larghezza di fondazione (terreno sotto la fondazione):

σ_R,γ = 0,5 ⋅ 20 kN/m³ ⋅ 1,569 m ⋅ 27,72 ⋅ 1 ⋅ 0,812 ⋅ 0,781 = 275,57 kN/m² con γ‘_d = γ_2d

Pressione del terreno ammissibile:

σ_R,k = σ_R,d = 530,14 kN/m² + 611,11 kN/m² + 275,57 kN/m² = 1416,83 kN/m²

σ_R,d = 1416,83 kN/m² / 1,40 = 1012,02 kN/m²

Pressione del terreno presente:

σ_E,d = 3060,94 kN / 3,922 m² = 780,40 kN/m²

Verifica Metodo 2

η = 780,40 kN/m² / 1012,02 kN/m² = 0,771 ≤ 1

Verifica metodo 2

Metodo 2* secondo EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

In questo metodo di verifica viene utilizzato un set di coefficienti parziali di sicurezza A1, M1 e R2, dove A1 (γ_G = 1,35; γ_Q = 1,5) aumenta le azioni sfavorevoli sulla fondazione, mentre M1 (γ'_φ = γ'_c = γ_γ = 1,00) non riduce i parametri del terreno. R2 (γ_R;v = γ_R;h = 1,40) riduce invece le resistenze.

L'Eccentricità della risultante e i coefficienti di inclinazione non vengono determinati con i valori di progetto delle azioni come nel Metodo 2, ma con le azioni caratteristiche. Nella maggior parte dei casi, ciò porta a Eccentricità minori e quindi a un'Area efficace maggiore, per cui la Pressione del terreno ammissibile è più alta rispetto al Metodo 2.

Calcolo della resistenza al cuscinetto

Eccentricità e_x del carico verticale efficace nella direzione x

Qui, a differenza degli altri metodi, vengono utilizzati i valori caratteristici del carico verticale con carichi di fondazione aggiuntivi V_z,+add,k e il valore caratteristico del momento flettente di progetto risultante nel centro della base della fondazione M_y,+add,k per determinare l'Eccentricità presente.

V_z,+add,k = 1156,25 kN + 1000 kN = 2156,25 kN

H_Q,x,k = 1,50 ⋅ 190 kN = 190 kN

M_y,+add,k =