Enfoques de proyecto para determinar la resistencia a fallo del terreno según el Eurocódigo 7 (EN 1997-1)

En el Eurocódigo 7 existen tres métodos de cálculo para determinar la seguridad de capacidad de carga.

• Método 1

• Método 2

• Método 3

En este artículo se comparan los métodos en el modelo de una losa de cimentación con pilar. Las diferencias entre los distintos métodos residen en los coeficientes parciales de seguridad, que afectan a diferentes magnitudes de influencia. Entre ellas se incluyen las acciones o tensiones, los parámetros del suelo y las resistencias. Es importante mencionar que estas reducciones o aumentos aparecen a veces también en combinación en los métodos. Además, el Anejo Nacional alemán describe reglas especiales para la aplicación del Método 2, que en el ámbito técnico se denomina método de cálculo 2* o 2+. A continuación y en RFEM 6, se utiliza la denominación 2* para este método.

Sistema de losa de cimentación con pilar

Cimentacion cuadrada con pilar

Losa de cimentación

• Longitud: w_x = 2,50 m
• Ancho: w_y = 2,50 m
• Espesor: t = 1,00 m
• Profundidad de empotramiento: D = 1,00 m
• Peso propio G_p,k = 156,25 kN con γ = 25 kN/m³

Pilar

• Longitud: c_x = 0,50 m
• Ancho: c_y = 0,50 m
• Altura: h = 4,00 m
• Peso propio: G_c,k = 25 kN con γ = 25 kN/m³

Parámetros del suelo

• Ángulo de fricción: φ'_d = 32°
• Parámetro de cohesión: c'_k = 15 kN/m²
• Densidad del suelo adyacente a la losa de cimentación: γ_1,k 20 kN/m³
• Densidad del suelo bajo la losa de cimentación: γ_2,k = 20 kN/m³

Caso de carga 1 - Cargas permanentes

• Vertical: V_G,z,k = 975 kN

Caso de carga 1 – Cargas permanentes

Incluyendo el peso propio del pilar G_c,k = 25 kN y de la cimentación G_p,k = 156,25 kN, la suma de las cargas verticales permanentes asciende a V_G,k,ges = 156,25 kN + 25 kN + 975 kN = 1156,25 kN. El peso propio de la cimentación se considera automáticamente con el peso propio de la estructura, siempre que la casilla "Peso propio activo" esté marcada. Si se desea introducir el peso propio manualmente, se deben definir cargas adicionales para la cimentación.

Cuadro de diálogo "Casos de carga y combinaciones" | Configuración "Peso propio activo"

Caso de carga 2 - Cargas variables

• Vertical: V_Q,z,k = 1000 kN
• Horizontal: H_Q,x,k = 190 kN

Caso de carga 2 – Cargas variables

Coeficientes parciales de seguridad

En la siguiente tabla se muestran los coeficientes parciales de seguridad según EN 1997-1, A.3.

Método 1

En este método de cálculo se utilizan dos conjuntos diferentes de coeficientes parciales de seguridad.

En la primera combinación 1-1, se emplean los coeficientes parciales de seguridad A1, M1 y R1, donde A1 (γ_G = 1,35; γ_Q = 1,5) aumenta las acciones desfavorables sobre la cimentación, mientras que M1 (γ'_φ = γ'_c = γ_γ = 1,00) no reduce los parámetros del suelo y R1 (γ_R;v = γ_R;h = 1,00) no reduce las resistencias.

En la segunda combinación 1-2, se utilizan A2, M2 y R1, donde A2 (γ_G = 1,00; γ_Q = 1,30) aumenta las acciones menos que A1, mientras que M2 (γ'_φ = γ'_c = 1,25; γ_γ = 1,00) reduce los parámetros del suelo, disminuyendo así la resistencia del suelo contra una falla por capacidad de carga.

Para la comprobación, se debe realizar el cálculo con ambos conjuntos de coeficientes parciales de seguridad, siendo determinante el conjunto con la mayor razón de tensiones.

Método 1 (Combinación 1-1) según EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

Cálculo de la resistencia a la capacidad de carga

Excentricidad e_x de la carga vertical efectiva en dirección x

Se necesitan el esfuerzo cortante de cálculo con cargas adicionales de cimentación V_z,+add y el valor del momento flector de cálculo resultante M_y,+add en el centro de la base de la cimentación para determinar la excentricidad de las cargas verticales efectivas.

V_z,+add,d = γ_G ⋅ V_G,k + γ_Q ⋅ V_Q,k = 1,35 ⋅ 1156,25 kN + 1,5 ⋅ 1000 kN = 3060,94 kN

H_Q,x,d = γ_Q ⋅ H_Q,x,k = 1,50 ⋅ 190 kN = 285 kN

M_y,+add,d = (t + h) ⋅ H_Q,x,d = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 285 kN = 1425 kNm

e_x = -M_y,+add,d / V_z,+add,d = -1425 kNm / 3060,94 kN = -0,466 m

Longitud, ancho y superficie de cimentación de cálculo

La carga excéntrica reduce el área de cimentación imputable.

w_x - 2 ⋅ |e_x| = 2,50 m - 2 ⋅ 0,466 m = 1,569 m

w_y - 2 ⋅ |e_y| = 2,50 m - 2 ⋅ 0,000 m = 2,500 m

Longitud de cálculo: L' = max(w_x - 2 ⋅ |e_x|; w_y - 2 ⋅ |e_y|) = 2,500 m

Ancho de cálculo: B' = min(w_x - 2 ⋅ |e_x|; w_y - 2 ⋅ |e_y|) = 1,569 m

Superficie de cálculo: A' = L' ⋅ B' = 2,500 m ⋅ 1,569 m = 3,922 m²

Visualización de la longitud, anchura y base de la cimentación eficaz

Parámetros del suelo a utilizar

Ángulo de fricción: φ'_d = arctan(tan(φ'_k ) / γ'_φ ) = arctan(tan(32°) / 1,00) = 32°

Parámetro de cohesión: c'_d = c'_k / γ'_c = 15 kN/m² / 1,00 = 15 kN/m²

Densidad del suelo: γ_1d = γ_2d = γ_1k / γ_γ = γ_2k / γ_γ = 20 kN/m³ / 1,00 = 20 kN/m³

El ángulo de fricción φ' describe el ángulo en el que se alcanza la resistencia al corte de un suelo por fricción entre los componentes del suelo. Por el contrario, la cohesión c' se refiere a la parte de la resistencia al corte que se origina por las fuerzas de enlace internas entre los componentes del suelo, independientemente de la tensión aplicada. Ambos parámetros desempeñan un papel central en la determinación de la resistencia al corte de un suelo bajo diferentes condiciones de carga. La densidad del suelo adyacente a la losa de cimentación se designa como γ_1d y la densidad del suelo bajo la losa de cimentación como γ_2d.

Coeficientes de capacidad de carga

N_q = e^{π ⋅ tan(φ‘_d)} ⋅ tan²(45°+φ‘_d / 2) = e^{π ⋅ tan(32°)} ⋅ tan²(45° + 32° / 2) = 23,18

El coeficiente N_q considera la capacidad de carga debida al peso propio del suelo.

N_c = (N_q - 1) ⋅ cot(φ‘_d ) = (23,18 kN - 1) ⋅ cot(32°) = 35,49

El coeficiente N_c considera la capacidad de carga debida a la cohesión del suelo.

N_γ = 2 ⋅ (N_q - 1) ⋅ tan(φ‘_d) = 2 ⋅ (23,18 kN - 1) ⋅ tan(32°) = 27,72 con δ ≥ φ'_d / 2 (superficie de base rugosa)

El coeficiente N_γ considera la capacidad de carga debida a la resistencia al corte del suelo.

Inclinación de la base de cimentación

b_q = (1 - α ⋅ tan(φ'_d))² = (1 - 0)² = 1

b_c = b_q - (1 - b_q) / (N_c ⋅ tan(φ'_d)) = 1 - 0 = 1

b_γ = b_q = 1

En este ejemplo, la inclinación de la base de cimentación es α = 0° y, por lo tanto, no influye en la comprobación de capacidad de carga.

Coeficientes de forma para secciones rectangulares

Las fórmulas para otras secciones se pueden consultar en el Eurocódigo 1997-1, D.4.

s_q = 1 + B' / L' ⋅ sin(φ’_d) = 1 + 1,569 m / 2,50 m ⋅ sin(32°) = 1,333

s_c = (s_q ⋅ N_q - 1) / (N_q - 1) = (1,333 ⋅ 23,18 - 1) / (23,18 - 1) = 1,348

s_γ = 1 - 0,3 ⋅ B' / L' = 1 - 0,3 ⋅ 1,569 m / 2,50 m = 0,812

Coeficientes de inclinación

m = (2 + L' / B') / (1 + L' / B') ⋅ cos²(ω) + (2 + B' / L') / (1 + B' / L') ⋅ sin²(ω) = 0 + (2 + 1,569 m / 2,500 m) / (1 + 1,569 m / 2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,614

i_q = (1 - H_d / (V_d + A' ⋅ c'_d ⋅ cot(φ‘_d)))^m = (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 15kN/m² ⋅ cot(32°)))^1,614 = 0,858

i_c = i_q - (1 - i_q) / (N_c ⋅ tan(φ'_d)) = 0,858 - (1 - 0,858) / (35,49 ⋅ tan(32°)) = 0,852

i_γ = (1 - H_d / (V_d + A' ⋅ c'_d ⋅ cot(φ'_d)))^m+1 = (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 15kN/m² ⋅ cot(32°)))^1,614+1 = 0,781

El coeficiente de inclinación depende del ángulo ω .

Ángulo de inclinación de fuerza y relaciones geométricas para determinar los coeficientes de inclinación

Resistencia a la capacidad de carga

Influencia de la profundidad de cimentación (suelo adyacente a la cimentación y cargas adicionales):

σ_R,q = q'_d ⋅ N_q ⋅ b_q ⋅ s_q ⋅ i_q = 20 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,333 ⋅ 0,858 = 530,14 kN/m² con q'_d = γ_1d ⋅ D

Influencia de la cohesión:

σ_R,c = c'_d ⋅ N_c ⋅ b_c ⋅ s_c ⋅ i_c = 15 kN/m² ⋅ 35,49 ⋅ 1 ⋅ 1,348 ⋅ 0,852 = 611,11 kN/m²

Influencia del ancho de cimentación (suelo bajo la cimentación):

σ_R,γ = 0,5 ⋅ γ'_d ⋅ B' ⋅ N_γ ⋅ b_γ ⋅ s_γ ⋅ i_γ = 0,5 ⋅ 20 kN/m³ ⋅ 1,569 m ⋅ 27,72 ⋅ 1 ⋅ 0,812 ⋅ 0,781 = 275,57 kN/m² con γ'_d = γ_2d

Presión del suelo admisible:

σ_R,k = R_k / A' = σ_s,q + σ_s,c + σ_s,γ = 530,14 kN/m² + 611,11 kN/m² + 275,57 kN/m² = 1416,83 kN/m²

σ_R,d = σ_s,k / γ_R;v = 1416,83 kN/m² / 1,00 = 1416,83 kN/m²

Presión del suelo existente:

σ_E,d = V_d / A' = 3060,94 kN / 3,922 m² = 780,40 kN/m²

Razón de tensiones

η₁ = σ_E,d / σ_R,d = 780,40 kN/m² / 1416,83 kN/m² = 0,551 ≤ 1

Método de cálculo 1 (combinación 1-1)

Método 1 (Combinación 1-2) según EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

Cálculo de la resistencia a la capacidad de carga

Excentricidad e_x de la carga vertical efectiva en dirección x

V_z,+add,d = 1,00 ⋅ 1156,25 kN + 1,30 ⋅ 1000 kN = 2456,25 kN

H_Q,x,d = 1,30 ⋅ 190 kN = 247 kN

M_y,+add,d = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 247 kN = 1235 kNm

e_x = -1235 kNm / 2456,25 kN = -0,503 m

Longitud, ancho y superficie de cimentación de cálculo

Longitud de cálculo: L' = max⁡(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,503 m) = 2,500 m

Ancho de cálculo: B' = min⁡(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,503 m) = 1,494 m

Superficie de cálculo: A' = 2,500 m ⋅ 1,494 m = 3,736 m²

Parámetros del suelo a utilizar

Ángulo de fricción: φ'_d = arctan(tan(32°)/1,25) = 26,56°

Parámetro de cohesión: c'_d = 15 kN/m²/ 1,25 = 12 kN/m²

Densidad del suelo: γ_1d = γ_2d = 20 kN/m³ / 1,00 = 20 kN/m³

Coeficientes de capacidad de carga

N_q = e^{π ⋅ tan(26,56°)} ⋅ tan²(45° + 26,56° / 2) = 12,59

N_c = (12,59 kN - 1) ⋅ cot(26,56°) = 23,18

N_γ = 2 ⋅ (12,59 kN - 1) ⋅ tan(26,56°) = 11,59 con δ ≥ φ'_d / 2 (superficie de base rugosa)

Inclinación de la base de cimentación

b_q = b_c = b_γ = 1 ya que α = 0°

Coeficientes de forma para secciones rectangulares

s_q = 1 + 1,494 m / 2,500 m ⋅ sin(26,56°) = 1,267

s_c = (1,267 ⋅ 12,59-1) / (12,59 - 1) = 1,290

s_γ = 1 - 0,3 ⋅ 1,494 m / 2,500 m = 0,821

Coeficientes de inclinación

m = 0 + (2 + 1,494 m / 2,500 m) / (1 + 1,494 m / 2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,626

i_q = (1 - 247 kN / (2456,25 kN + 3,736 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(26,56°)))^1,626 = 0,847

i_c = 0,847 - (1 - 0,847) / (12,59 ⋅ tan(26,56°)) = 0,834

i_γ = (1 - 247 kN / (2456,25 kN + 3,736 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(26,56°)))^{1,626 + 1} = 0,765

Resistencia a la capacidad de carga

Influencia de la profundidad de cimentación (suelo adyacente a la cimentación y cargas adicionales):

σ_R,q = 20 kN/m² ⋅ 12,59 ⋅ 1 ⋅ 1,267 ⋅ 0,847 = 270,26 kN/m² con q'_d = γ_1d ⋅ D

Influencia de la cohesión:

σ_R,c = 12 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,1290 ⋅ 0,834 = 299,31 kN/m²

Influencia del ancho de cimentación (suelo bajo la cimentación):

σ_R,γ = 0,5 ⋅ 20 kN/m³ ⋅ 1,494 m ⋅ 11,59 ⋅ 1 ⋅ 0,821 ⋅ 0,765 = 108,68 kN/m² con γ'_d = γ_2d

Presión del suelo admisible:

σ_R,k = σ_R,d = 270,26 kN/m² + 299,31 kN/m² + 108,68 kN/m² = 678,25 kN/m²

Presión del suelo existente:

σ_E,d = 2456,25 kN / 3,736 m² = 657,45 kN/m²

Razón de tensiones

η₂ = 657,45 kN/m² / 678,25 kN/m² = 0,969 ≤ 1

Método de cálculo 1 (combinación 1-2)

Comprobación Método 1

η = max(η₁; η₂) = max(0,551; 0,969) = 0,969 ≤ 1

Método 2 según EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

En este método de cálculo se utiliza un conjunto de coeficientes parciales de seguridad A1, M1 y R2, donde A1 (γ_G = 1,35; γ_Q = 1,5) aumenta las acciones desfavorables sobre la cimentación, mientras que M1 (γ'_φ = γ'_c = γ_γ = 1,00) no reduce los parámetros del suelo. R2 (γ_R;v = γ_R;h = 1,40) reduce, en cambio, las resistencias.

Cálculo de la resistencia a la capacidad de carga

Excentricidad e_x de la carga vertical efectiva en dirección x

V_z,+add,d = 1,35 ⋅ 1156,25 kN + 1,50 ⋅ 1000 kN = 3060,94 kN

H_Q,x,d = 1,50 ⋅ 190 kN = 285 kN

M_y,+add,d = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 285 kN = 1425 kNm

e_x = -1425 kNm / 3060,94 kN = -0,466 m

Longitud, ancho y superficie de cimentación de cálculo

Longitud de cálculo: L' = max(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,466 m) = 2,500 m

Ancho de cálculo: B' = min(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,466 m) = 1,569 m

Superficie de cálculo: A' = 2,500 m ⋅ 1,569 m = 3,922 m²

Parámetros del suelo a utilizar

Ángulo de fricción: φ'_d = 32°

Parámetro de cohesión: c'_d = 15 kN/m²

Densidad del suelo: γ_1d = γ_2d = 20 kN/m³

Coeficientes de capacidad de carga

N_q = e^{π ⋅ tan(32°)} ⋅ tan²(45° + 32° / 2) = 23,18

N_c = (23,18 kN - 1) ⋅ cot(32°) = 35,49

N_γ = 2 ⋅ (23,18 kN - 1) ⋅ tan(32°) = 27,72 con δ ≥ φ‘_d / 2 (superficie de base rugosa)

Inclinación de la base de cimentación

b_q = b_c = b_γ = 1 ya que α = 0°

Coeficientes de forma para secciones rectangulares

s_q = 1 + 1,569 m / 2,500 m ⋅ sin(32°) = 1,333

s_c = (1,333 ⋅ 23,18-1) / (23,18-1) = 1,348

s_γ = 1 - 0,3 ⋅ 1,569 m / 2,500 m = 0,812

Coeficientes de inclinación

m = 0 + (2 + 1,569 m / 2,500 m) / (1 + 1,569 m / 2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,614

i_q = (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(32°) ))^1,614 = 0,858

i_c = 0,858 - (1 - 0,858) / (23,18 ⋅ tan(32°)) = 0,852

i_γ = (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(32°)))^{1,614 + 1} = 0,781

Resistencia a la capacidad de carga

Influencia de la profundidad de cimentación (suelo adyacente a la cimentación y cargas adicionales):

σ_R,q = 20 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,333 ⋅ 0,858 = 530,14 kN/m² con q‘_d = γ_1d ⋅ D

Influencia de la cohesión:

σ_R,c = 15 kN/m² ⋅ 35,49 ⋅ 1 ⋅ 1,1290 ⋅ 0,852 = 611,11 kN/m²

Influencia del ancho de cimentación (suelo bajo la cimentación):

σ_R,γ = 0,5 ⋅ 20 kN/m³ ⋅ 1,569 m ⋅ 27,72 ⋅ 1 ⋅ 0,812 ⋅ 0,781 = 275,57 kN/m² con γ‘_d = γ_2d

Presión del suelo admisible:

σ_R,k = σ_R,d = 530,14 kN/m² + 611,11 kN/m² + 275,57 kN/m² = 1416,83 kN/m²

σ_R,d = 1416,83 kN/m² / 1,40 = 1012,02 kN/m²

Presión del suelo existente:

σ_E,d = 3060,94 kN / 3,922 m² = 780,40 kN/m²

Comprobación Método 2

η = 780,40 kN/m² / 1012,02 kN/m² = 0,771 ≤ 1

Método de cálculo 2

Método 2* según EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

En este método de cálculo se utiliza un conjunto de coeficientes parciales de seguridad A1, M1 y R2, donde A1 (γ_G = 1,35; γ_Q = 1,5) aumenta las acciones desfavorables sobre la cimentación, mientras que M1 (γ'_φ = γ'_c = γ_γ = 1,00) no reduce los parámetros del suelo. R2 (γ_R;v = γ_R;h = 1,40) reduce, en cambio, las resistencias.

La excentricidad de la resultante y los coeficientes de pendiente no se determinan con los valores de cálculo de las acciones, como en el Método 2, sino con las acciones características. En la mayoría de los casos, esto conduce a excentricidades más pequeñas y, por lo tanto, a una mayor superficie de cálculo, por lo que la presión del suelo admisible es mayor que en el Método 2.

Cálculo de la resistencia a la capacidad de carga

Excentricidad e_x de la carga vertical efectiva en dirección x

Aquí, a diferencia de los otros métodos, se utilizan los valores característicos de la carga vertical con cargas adicionales de cimentación V_z,+add,k y el valor característico del momento flector de cálculo resultante en el centro de la base de la cimentación M_y,+add,k para determinar la excentricidad existente.

V_z,+add,k = 1156,25 kN + 1000 kN = 2156,25 kN

H_Q,x,k = 1,50 ⋅ 190 kN = 190 kN

M_y,+add,k = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 190 kN =