Návrhová metoda pro stanovení únosnosti základové půdy podle Eurokódu 7 (EN 1997-1)

Ve smyslu Eurokódu 7 existují tři metody posouzení únosnosti.

• Metoda 1
• Metoda 2
• Metoda 3

V tomto článku jsou jednotlivé metody porovnány na modelu základové desky se sloupem. Rozdíly mezi jednotlivými metodami spočívají v dílčích součinitelích spolehlivosti, které ovlivňují různé vstupní veličiny. Patří mezi ně účinky nebo namáhání, charakteristiky zemin a odpory. Je důležité zmínit, že tato zmenšení nebo zvětšení se v metodách částečně vyskytují i v kombinaci. Národní příloha pro Německo navíc popisuje zvláštní pravidla pro použití metody 2, která se v odborných kruzích označuje jako metoda posouzení 2* nebo 2+. V dalším textu a v programu RFEM 6 se pro tuto metodu používá označení 2*.

Systém základová deska se sloupem

Základová deska

• Délka: w_x = 2,50 m
• Šířka: w_y = 2,50 m
• Tloušťka: t = 1,00 m
• Hloubka založení: D = 1,00 m
• Vlastní tíha G_p,k = 156,25 kN s γ = 25 kN/m³

Sloup

• Délka: c_x = 0,50 m
• Šířka: c_y = 0,50 m
• Výška: h = 4,00 m
• Vlastní tíha: G_c,k = 25 kN s γ = 25 kN/m³

Parametry zeminy

• Úhel vnitřního tření: φ'_d = 32°
• Parametr smykové pevnosti - soudržnost: c'_k = 15 kN/m²
• Objemová tíha zeminy vedle základové desky: γ_1,k 20 kN/m³
• Objemová tíha zeminy pod základovou deskou: γ_2,k = 20 kN/m³

Zatěžovací stav 1 - Stálá zatížení

• Vertikálně: V_G,z,k = 975 kN

Včetně vlastní tíhy sloupu G_c,k = 25 kN a základu G_p,k = 156,25 kN činí součet stálých vertikálních zatížení V_G,k,celk = 156,25 kN + 25 kN + 975 kN = 1156,25 kN. Vlastní tíha základu se automaticky zohlední s vlastní tíhou konstrukce, pokud je zaškrtnuto políčko "Aktivní vlastní tíha". Pokud má být vlastní tíha zadána ručně, musí být definována dodatečná zatížení pro základ.

Zatěžovací stav 2 - proměnná zatížení

• Vertikálně: V_Q,z,k = 1000 kN
• Horizontálně: H_Q,x,k = 190 kN

Dílčí součinitele spolehlivosti

V následující tabulce jsou uvedeny dílčí součinitele spolehlivosti podle EN 1997-1, A.3.

Účinky (Actions A)	Symbol	A1	A2
stálá zatížení	γG	1,35	1,00
proměnná zatížení	γQ	1,50	1,30
Charakteristiky zeminy (Materiál M)	Symbol	M1	M2
efektivní úhel vnitřního tření	γ’φ	1,00	1,25
efektivní soudržnost	γ’c	1,00	1,25
objemová tíha	γγ	1,00	1,00
Odpory (Resistance R)	Symbol	R1	R2	R3
únosnost základu	γR;v	1,00	1,40	1,00
posunutí	γR;h	1,00	1,10	1,00

Metoda 1

V této metodě posouzení se používají dvě různé sady dílčích součinitelů spolehlivosti.

V první kombinaci 1-1 se použijí dílčí součinitele spolehlivosti A1, M1 a R1, kde A1 (γ_G = 1,35; γ_Q = 1,5) zvětšuje nepříznivé účinky na základ, zatímco M1 (γ'_φ = γ'_c = γ_γ = 1,00) nezmenšuje charakteristiky zeminy a R1 (γ_R;v = γ_R;h = 1,00) nezmenšuje odpory.

Ve druhé kombinaci 1-2 se použijí A2, M2 a R1, kde A2 (γ_G = 1,00; γ_Q = 1,30) zvětšuje účinky méně než A1, zatímco M2 (γ'_φ = γ'_c = 1,25; γ_γ = 1,00) zmenšuje charakteristiky zeminy, čímž se snižuje odpor zeminy proti porušení únosnosti.

Pro posouzení je nutné provést výpočet s oběma sadami dílčích součinitelů spolehlivosti, přičemž rozhoduje sada s vyšším využitím.

Metoda 1 (Kombinace 1-1) podle EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

Výpočet únosnosti základu

Excentricita e_x účinného svislého zatížení ve směru x

Návrhová posouvající síla s přídavnými zatíženími základu V_z,+add a hodnota výsledného návrhového ohybového momentu M_y,+add ve středu základové spáry jsou potřebné pro stanovení excentricity účinných svislých zatížení.

V_z,+add,d = γ_G ⋅ V_G,k + γ_Q ⋅ V_Q,k = 1,35 ⋅ 1156,25 kN + 1,5 ⋅ 1000 kN = 3060,94 kN

H_Q,x,d = γ_Q ⋅ H_Q,x,k = 1,50 ⋅ 190 kN = 285 kN

M_y,+add,d = (t + h) ⋅ H_Q,x,d = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 285 kN = 1425 kNm

e_x = -M_y,+add,d / V_z,+add,d = -1425 kNm / 3060,94 kN = -0,466 m

Účinná délka, šířka a plocha základu

V důsledku excentrického zatížení se redukuje započitatelná plocha základu.

w_x - 2 ⋅ |e_x| = 2,50 m - 2 ⋅ 0,466 m = 1,569 m

w_y - 2 ⋅ |e_y| = 2,50 m - 2 ⋅ 0,000 m = 2,500 m

Účinná délka: L' = max(w_x - 2 ⋅ |e_x|; w_y - 2 ⋅ |e_y|) = 2,500 m

Účinná šířka: B' = min(w_x - 2 ⋅ |e_x|; w_y - 2 ⋅ |e_y|) = 1,569 m

Účinná plocha: A' = L' ⋅ B' = 2,500 m ⋅ 1,569 m = 3,922 m²

Použité charakteristiky zeminy

Úhel vnitřního tření: φ'_d = arctan(tan(φ'_k ) / γ'_φ ) = arctan(tan(32°) / 1,00) = 32°

Parametr smykové pevnosti - soudržnost: c'_d = c'_k / γ'_c = 15 kN/m² / 1,00 = 15 kN/m²

Objemová tíha zeminy: γ_1d = γ_2d = γ_1k / γ_γ = γ_2k / γ_γ = 20 kN/m³ / 1,00 = 20 kN/m³

Úhel vnitřního tření φ' popisuje úhel, při kterém je dosaženo smykové pevnosti zeminy v důsledku tření mezi částmi zeminy. Naproti tomu soudržnost c' se vztahuje k podílu smykové pevnosti, který vzniká vnitřními vazebnými silami mezi částmi zeminy – nezávisle na působícím napětí. Oba parametry hrají klíčovou roli při stanovení smykové pevnosti zeminy za různých podmínek zatížení. Objemová tíha zeminy vedle základové desky se označuje γ_1d, objemová tíha zeminy pod základovou deskou γ_2d.

Součinitele únosnosti

N_q = e^{π ⋅ tan(φ‘_d)} ⋅ tan²(45°+φ‘_d / 2) = e^{π ⋅ tan(32°)} ⋅ tan²(45° + 32° / 2) = 23,18

Součinitel N_q zohledňuje únosnost v důsledku vlastní tíhy zeminy.

N_c = (N_q - 1) ⋅ cot(φ‘_d ) = (23,18 kN - 1) ⋅ cot(32°) = 35,49

Součinitel N_c zohledňuje únosnost v důsledku soudržnosti zeminy.

N_γ = 2 ⋅ (N_q - 1) ⋅ tan(φ‘_d) = 2 ⋅ (23,18 kN - 1) ⋅ tan(32°) = 27,72 s δ ≥ φ'_d / 2 (drsná základová spára)

Součinitel N_γ zohledňuje únosnost v důsledku smykové pevnosti zeminy.

Sklon základové spáry

b_q = (1 - α ⋅ tan(φ'_d))² = (1 - 0)² = 1

b_c = b_q - (1 - b_q) / (N_c ⋅ tan(φ'_d)) = 1 - 0 = 1

b_γ = b_q = 1

V tomto příkladu je sklon základové spáry α = 0° a nemá tedy žádný vliv na posouzení únosnosti.

Součinitele tvaru pro obdélníkové průřezy

Vzorce pro jiné průřezy lze nalézt v Eurokódu 1997-1, D.4.

s_q = 1 + B' / L' ⋅ sin(φ’_d) = 1 + 1,569 m / 2,50 m ⋅ sin(32°) = 1,333

s_c = (s_q ⋅ N_q - 1) / (N_q - 1) = (1,333 ⋅ 23,18 - 1) / (23,18 - 1) = 1,348

s_γ = 1 - 0,3 ⋅ B' / L' = 1 - 0,3 ⋅ 1,569 m / 2,50 m = 0,812

Součinitele sklonu

m = (2 + L' / B') / (1 + L' / B') ⋅ cos²(ω) + (2 + B' / L') / (1 + B' / L') ⋅ sin²(ω) = 0 + (2 + 1,569 m / 2,500 m) / (1 + 1,569 m / 2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,614

i_q = (1 - H_d / (V_d + A' ⋅ c'_d ⋅ cot(φ‘_d)))^m = (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 15kN/m² ⋅ cot(32°)))^1,614 = 0,858

i_c = i_q - (1 - i_q) / (N_c ⋅ tan(φ'_d)) = 0,858 - (1 - 0,858) / (35,49 ⋅ tan(32°)) = 0,852

i_γ = (1 - H_d / (V_d + A' ⋅ c'_d ⋅ cot(φ'_d)))^m+1 = (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 15kN/m² ⋅ cot(32°)))^1,614+1 = 0,781

Součinitel sklonu závisí na úhlu ω.

Únosnost základu

Vliv hloubky založení (zemina vedle základu a přídavná zatížení):

σ_R,q = q'_d ⋅ N_q ⋅ b_q ⋅ s_q ⋅ i_q = 20 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,333 ⋅ 0,858 = 530,14 kN/m² s q'_d = γ_1d ⋅ D

Vliv soudržnosti:

σ_R,c = c'_d ⋅ N_c ⋅ b_c ⋅ s_c ⋅ i_c = 15 kN/m² ⋅ 35,49 ⋅ 1 ⋅ 1,348 ⋅ 0,852 = 611,11 kN/m²

Vliv šířky základu (zemina pod základem):

σ_R,γ = 0,5 ⋅ γ'_d ⋅ B' ⋅ N_γ ⋅ b_γ ⋅ s_γ ⋅ i_γ = 0,5 ⋅ 20 kN/m³ ⋅ 1,569 m ⋅ 27,72 ⋅ 1 ⋅ 0,812 ⋅ 0,781 = 275,57 kN/m² s γ'_d = γ_2d

Dovolené kontaktní napětí:

σ_R,k = R_k / A' = σ_s,q + σ_s,c + σ_s,γ = 530,14 kN/m² + 611,11 kN/m² + 275,57 kN/m² = 1416,83 kN/m²

σ_R,d = σ_s,k / γ_R;v = 1416,83 kN/m² / 1,00 = 1416,83 kN/m²

Existující kontaktní napětí:

σ_E,d = V_d / A' = 3060,94 kN / 3,922 m² = 780,40 kN/m²

Využití

η₁ = σ_E,d / σ_R,d = 780,40 kN/m² / 1416,83 kN/m² = 0,551 ≤ 1

Metoda 1 (Kombinace 1-2) podle EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

Výpočet únosnosti základu

Excentricita e_x účinného svislého zatížení ve směru x

V_z,+add,d = 1,00 ⋅ 1156,25 kN + 1,30 ⋅ 1000 kN = 2456,25 kN

H_Q,x,d = 1,30 ⋅ 190 kN = 247 kN

M_y,+add,d = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 247 kN = 1235 kNm

e_x = -1235 kNm / 2456,25 kN = -0,503 m

Účinná délka, šířka a plocha základu

Účinná délka: L' = max⁡(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,503 m) = 2,500 m

Účinná šířka: B' = min⁡(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,503 m) = 1,494 m

Účinná plocha: A' = 2,500 m ⋅ 1,494 m = 3,736 m²

Použité charakteristiky zeminy

Úhel vnitřního tření: φ'_d = arctan(tan(32°)/1,25) = 26,56°

Parametr smykové pevnosti - soudržnost: c'_d = 15 kN/m²/ 1,25 = 12 kN/m²

Objemová tíha zeminy: γ_1d = γ_2d = 20 kN/m³ / 1,00 = 20 kN/m³

Součinitele únosnosti

N_q = e^{π ⋅ tan(26,56°)} ⋅ tan²(45° + 26,56° / 2) = 12,59

N_c = (12,59 kN - 1) ⋅ cot(26,56°) = 23,18

N_γ = 2 ⋅ (12,59 kN - 1) ⋅ tan(26,56°) = 11,59 s δ ≥ φ'_d / 2 (drsná základová spára)

Sklon základové spáry

b_q = b_c = b_γ = 1, protože α = 0°

Součinitele tvaru pro obdélníkové průřezy

s_q = 1 + 1,494 m / 2,500 m ⋅ sin(26,56°) = 1,267

s_c = (1,267 ⋅ 12,59 - 1) / (12,59 - 1) = 1,290

s_γ = 1 - 0,3 ⋅ 1,494 m / 2,500 m = 0,821

Součinitele sklonu

m = 0 + (2 + 1,494 m / 2,500 m) / (1 + 1,494 m / 2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,626

i_q = (1 - 247 kN / (2456,25 kN + 3,736 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(26,56°)))^1,626 = 0,847

i_c = 0,847 - (1 - 0,847) / (12,59 ⋅ tan(26,56°)) = 0,834

i_γ = (1 - 247 kN / (2456,25 kN + 3,736 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(26,56°)))^{1,626 + 1} = 0,765

Únosnost základu

Vliv hloubky založení (zemina vedle základu a přídavná zatížení):

σ_R,q = 20 kN/m² ⋅ 12,59 ⋅ 1 ⋅ 1,267 ⋅ 0,847 = 270,26 kN/m² s q'_d = γ_1d ⋅ D

Vliv soudržnosti:

σ_R,c = 12 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,1290 ⋅ 0,834 = 299,31 kN/m²

Vliv šířky základu (zemina pod základem):

σ_R,γ = 0,5 ⋅ 20 kN/m³ ⋅ 1,494 m ⋅ 11,59 ⋅ 1 ⋅ 0,821 ⋅ 0,765 = 108,68 kN/m² s γ'_d = γ_2d

Dovolené kontaktní napětí:

σ_R,k = σ_R,d = 270,26 kN/m² + 299,31 kN/m² + 108,68 kN/m² = 678,25 kN/m²

Existující kontaktní napětí:

σ_E,d = 2456,25 kN / 3,736 m² = 657,45 kN/m²

Využití

η₂ = 657,45 kN/m² / 678,25 kN/m² = 0,969 ≤ 1

Posouzení metoda 1

η = max(η₁; η₂) = max(0,551; 0,969) = 0,969 ≤ 1

Metoda 2 podle EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

V této metodě posouzení se použije jedna sada dílčích součinitelů spolehlivosti A1, M1 a R2, kde A1 (γ_G = 1,35; γ_Q = 1,5) zvětšuje nepříznivé účinky na základ, zatímco M1 (γ'_φ = γ'_c = γ_γ = 1,00) nezmenšuje charakteristiky zeminy. R2 (γ_R;v = γ_R;h = 1,40) naopak zmenšuje odpory.

Výpočet únosnosti základu

Excentricita e_x účinného svislého zatížení ve směru x

V_z,+add,d = 1,35 ⋅ 1156,25 kN + 1,50 ⋅ 1000 kN = 3060,94 kN

H_Q,x,d = 1,50 ⋅ 190 kN = 285 kN

M_y,+add,d = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 285 kN = 1425 kNm

e_x = -1425 kNm / 3060,94 kN = -0,466 m

Účinná délka, šířka a plocha základu

Účinná délka: L' = max(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,466 m) = 2,500 m

Účinná šířka: B' = min(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,466 m) = 1,569 m

Účinná plocha: A' = 2,500 m ⋅ 1,569 m = 3,922 m²

Použité charakteristiky zeminy

Úhel vnitřního tření: φ'_d = 32°

Parametr smykové pevnosti - soudržnost: c'_d = 15 kN/m²

Objemová tíha zeminy: γ_1d = γ_2d = 20 kN/m³

Součinitele únosnosti

N_q = e^{π ⋅ tan(32°)} ⋅ tan²(45° + 32° / 2) = 23,18

N_c = (23,18 kN - 1) ⋅ cot(32°) = 35,49

N_γ = 2 ⋅ (23,18 kN - 1) ⋅ tan(32°) = 27,72 s δ ≥ φ‘_d / 2 (drsná základová spára)

Sklon základové spáry

b_q = b_c = b_γ = 1, protože α = 0°

Součinitele tvaru pro obdélníkové průřezy

s_q = 1 + 1,569 m / 2,500 m ⋅ sin(32°) = 1,333

s_c = (1,333 ⋅ 23,18 - 1) / (23,18 - 1) = 1,348

s_γ = 1 - 0,3 ⋅ 1,569 m / 2,500 m = 0,812

Součinitele sklonu

m = 0 + (2 + 1,569 m / 2,500 m) / (1 + 1,569 m / 2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,614

i_q = (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(32°) ))^1,614 = 0,858

i_c = 0,858 - (1 - 0,858) / (23,18 ⋅ tan(32°)) = 0,852

i_γ = (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(32°)))^{1,614 + 1} = 0,781

Únosnost základu

Vliv hloubky založení (zemina vedle základu a přídavná zatížení):

σ_R,q = 20 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,333 ⋅ 0,858 = 530,14 kN/m² s q‘_d = γ_1d ⋅ D

Vliv soudržnosti:

σ_R,c = 15 kN/m² ⋅ 35,49 ⋅ 1 ⋅ 1,1290 ⋅ 0,852 = 611,11 kN/m²

Vliv šířky základu (zemina pod základem):

σ_R,γ = 0,5 ⋅ 20 kN/m³ ⋅ 1,569 m ⋅ 27,72 ⋅ 1 ⋅ 0,812 ⋅ 0,781 = 275,57 kN/m² s γ‘_d = γ_2d

Dovolené kontaktní napětí:

σ_R,k = σ_R,d = 530,14 kN/m² + 611,11 kN/m² + 275,57 kN/m² = 1416,83 kN/m²

σ_R,d = 1416,83 kN/m² / 1,40 = 1012,02 kN/m²

Existující kontaktní napětí:

σ_E,d = 3060,94 kN / 3,922 m² = 780,40 kN/m²

Posouzení metoda 2

η = 780,40 kN/m² / 1012,02 kN/m² = 0,771 ≤ 1

Metoda 2* podle EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

V této metodě posouzení se použije jedna sada dílčích součinitelů spolehlivosti A1, M1 a R2, kde A1 (γ_G = 1,35; γ_Q = 1,5) zvětšuje nepříznivé účinky na základ, zatímco M1 (γ'_φ = γ'_c = γ_γ = 1,00) nezmenšuje charakteristiky zeminy. R2 (γ_R;v = γ_R;h = 1,40) naopak zmenšuje odpory.

Excentricita výslednice a sou