VE 9961 | Vérification à la poinçonnement du poteau intérieur dans une dalle pleine selon CSA A23.3

Description

Cet exemple examine la vérification de la résistance au poinçonnement d'un poteau intérieur selon CSA A23.3-19 [1]. La géométrie et les charges ont été reprises du poteau interne C2 de l’exemple 1 dans le CAC Concrete Design Handbook - 4e édition (manuel étatsunien de vérification du béton), pages 5-13 et 5-14 [2].

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Exemple de vérification 9961 | Vérification de la perforation selon la CSA A23.3

Exemple de Vérification 9961 | Dimensions de poteau

Solution analytique :

\(
\)

1. Calcul des quantités géométriques :

Dimension de la section circulaire critique parallèle à l'excentricité :
\(
\mathsf{b_{1} = b + d}
\)
\(
\mathsf{= 600 + 210}
\)
\(
\mathsf{= 810\,mm}
\)
\(
\)
\(
\mathsf{b_{2} = h + d}
\)
\(
\mathsf{= 400 + 210}
\)
\(
\mathsf{= 610 mm}
\)
\(
\)
Longueur de la section critique :

\(
\mathsf{b_{o} = 2 \cdot (h + b + 2 \cdot d)}
\)
\(
\mathsf{= 2 \cdot (400 mm + 600 mm + 2 \cdot 210 mm)}
\)
\(
\mathsf{= 2840 mm}
\)
\(
\)

2. Calcul de l'action :

Les indices "1" et "2" se réfèrent aux axes principaux dans le système.

• L'indice 1 se réfère à l'axe X global.

• L'indice 2 se réfère à l'axe Y global

\(
\)
Ainsi, les moments d'inertie polaires suivants résultent :

\(
\mathsf{J_{c} = 2\left(\dfrac{b_{1}\,d^{3}}{12} + \dfrac{d\,b_{1}^{3}}{12}\right) + 2(b_{2}\,d)\left(\dfrac{b_{1}}{2}\right)^{2}}
\)

\(
\mathsf{J_{1} = 2\left(\dfrac{810 \cdot 210^{3}}{12} + \dfrac{210 \cdot 810^{3}}{12}\right) + 2\left(610 \cdot 210\right)\left(\dfrac{810}{2}\right)^{2}}
\)

\(
= \mathsf{ \; 6.1873875 \times 10^{10}\,mm^{4}}
\)
\(
\)

\(
\mathsf{J_{2} = 2\left(\dfrac{610 \cdot 210^{3}}{12} + \dfrac{210 \cdot 610^{3}}{12}\right) + 2\left(810 \cdot 210\right)\left(\dfrac{610}{2}\right)^{2}}
\)

\(
= \mathsf{ \; 4.0532975 \times 10^{10}\,mm^{4}}
\)
\(
\)

Effort tranchant réduit dû au transfert de charge dans la section circonférentielle critique :

\(
\mathsf{\Delta V_{f} = p \cdot b_{1} \cdot b_{2}}
\)

\(
\mathsf{= 11.6\,kN/m^{2} \cdot 0.810\,m \cdot 0.610\,m}
\)

\(
\mathsf{= 5.73\,kN}
\)
\(
\)

L'effort tranchant réduit est calculé comme suit :

\(
\mathsf{V_{f,res} = V_{f} - \Delta V_{f}}
\)

\(
\mathsf{= 543.58\,kN - 5.73\,kN}
\)

\(
\mathsf{= 537.85\,kN}
\)
\(
\)

Le moment de plaque calculé dans la première direction au centroïde de la section circulaire critique :

\(
\mathsf{ M_{f,1,sl} } = \mathsf{ \; M_{f,1} \; + \; V_{f,res} \; \cdot \; e_{1,sl} }
\)

\(
= \mathsf{ \; 73.40\,kNm \; + \; 537.85\,kN \; \cdot \; 0.0\,mm }
\)

\(
= \mathsf{ \; 73.40\,kNm}
\)
\(
\)

La contribution des forces tranchantes excentriques du moment transmis dans la première direction principale :

\(
\mathsf{ \gamma_{v,1} } = \mathsf{ \; 1 \; - \dfrac{1}{1 \; + \; \left( \dfrac{2}{3} \right) \; \cdot \; \sqrt{\dfrac{b_{1,1}}{b_{2,1}}}} }
\)
\(
\)
\(
= \mathsf{ \; 1 \; - \dfrac{1}{1 \; + \; \left( \dfrac{2}{3} \right) \; \cdot \; \sqrt{\dfrac{810\,mm}{610\,mm}}} }
\)

\(
= \mathsf{ \; 0.434460}
\)
\(
\)

La composante du moment transmis par des efforts tranchants excentrés dans la deuxième direction principale :

\(
\mathsf{ M_{f,2} } = \mathsf{ \; M_{f,2} \; - \; V_{f,res} \; \cdot \; e_{2,sl} }
\)

\(
= \mathsf{ \; -34.90\,kNm \; - \; 537.85\,kN \; \cdot \; 0.0\,mm }
\)
\(
= \mathsf{ \; -34.90\,kNm}
\)
\(
\)

Avec la fraction du moment de plaque calculé dans la deuxième direction, qui est absorbée par l’appui
\(
\mathsf{ \gamma_{v,2} } = \mathsf{ \; 1 \; - \dfrac{1}{1 \; + \; \left( \dfrac{2}{3} \right) \; \cdot \; \sqrt{\dfrac{b_{1,2}}{b_{2,2}}}} }
\)
\(
\)
\(
= \mathsf{ \; 1 \; - \dfrac{1}{1 \; + \; \left( \dfrac{2}{3} \right) \; \cdot \; \sqrt{\dfrac{610\,mm}{810\,mm}}} }
\)

\(
= \mathsf{ \; 0.366502}
\)
\(
\)

Contrainte de cisaillement due à l’effort tranchant réduit :

\(
\mathsf{\nu_{fv} = \dfrac{V_{f,res}}{b_{o} \cdot d}}
\)

\(
\mathsf{\nu_{fv} = \dfrac{537.85\,kN}{2.840\,m \cdot 0.210\,m}}
\)

\(
\mathsf{\nu_{fv} = 0.9040\,MPa}
\)
\(
\)

La contrainte de cisaillement maximale appliquée est calculée comme suit :

\(
\mathsf{
\nu_{f}
=
\nu_{fv}
- \dfrac{\gamma_{v,1} \cdot M_{f,1,sl} \cdot e_{1}}{J_{1}}
+ \dfrac{\gamma_{v,2} \cdot M_{f,2,sl} \cdot e_{2}}{J_{2}}
}
\)
\(
\mathsf{
= \; 0.9040\,MPa
\; - \;
\dfrac{0.434460 \cdot 73.40\,kNm \cdot (-405\,mm)}{6.1873875 \times 10^{10}\,mm^{4}}
\; + \;
\dfrac{0.366502 \cdot (-34.90\,kNm) \cdot (-305\,mm)}{4.0532975 \times 10^{10}\,mm^{4}}
}
\)
\(
\mathsf{
= 1.204\,MPa
}
\)

\(
\)

3. Calcul de la résistance :

Rapport du côté long au côté court de l’appui :

\(
\mathsf{ \beta_{c} } = \mathsf{ \; \dfrac{max\left( b, \; h \right)}{min\left( b, \; h \right)} }
\)

\(
= \mathsf{ \; \dfrac{max\left( 0.600\,m, \; 0.400\,m \right)}{min\left( 0.600\,m, \; 0.400\,m \right)} }
\)
\(
= \mathsf{ \; 1.50}
\)
\(
\)

Résistance au poinçonnement de la dalle sans armatures d’effort tranchant selon 13.3.4.1 (a) :

\(
\mathsf{ \nu_{c(a)} } = \mathsf{ \; \left( 1 \; + \; \dfrac{2}{\beta _{c}} \right) \; \cdot \; 0.19\; \cdot \; \lambda \; \cdot \; \Phi _{c} \; \cdot \; min\left( \sqrt{f'_{c}}, \; f'_{c,max} \right) }
\)
\(
= \mathsf{ \; \left( 1 \; + \; \dfrac{2}{1.50} \right) \; \cdot \; 0.19\; \cdot \; 1.00\; \cdot \; 0.65\; \cdot \; min\left( \sqrt{25.00\,MPa}, \; 8.00\,MPa \right) }
\)
\(
= \mathsf{ \; 1,441\,MPa}
\)
\(
\)

Résistance au poinçonnement de la dalle sans renforcement de cisaillement selon 13.3.4.1 (b) :
\(
\mathsf{ \nu_{c(b)} } = \mathsf{ \; \left( \dfrac{\alpha_{s} \; \cdot \; d}{b_{o}} \; + \; 0.19 \right) \; \cdot \; \lambda \; \cdot \; \Phi _{c} \; \cdot \; min\left( \sqrt{f'_{c}}, \; f'_{c,max} \right) }
\)
\(
= \mathsf{ \; \left( \dfrac{4.00 \; \cdot \; 210\,mm}{2.840\,m} \; + \; 0.19 \right) \; \cdot \; 1.00 \; \cdot \; 0.65 \; \cdot \; min\left( \sqrt{25.00\,MPa}, \; 8.00\,MPa \right) }
\)
\(
= \mathsf{ \; 1.579\,MPa}
\)

Résistance au poinçonnement de la dalle sans armatures d’effort tranchant selon 13.3.4.1 (c) :
\(
\mathsf{ \nu_{c(c)} } = \mathsf{ \; 0.38\; \cdot \; \lambda \; \cdot \; \Phi _{c} \; \cdot \; min\left( \sqrt{f'_{c}}, \; f'_{c,max} \right) }
\)
\(
= \mathsf{ \; 0.38\; \cdot \; 1.00\; \cdot \; 0.65\; \cdot \; min\left( \sqrt{25.00\,MPa}, \; 8.00\,MPa \right) }
\)
\(
= \mathsf{ \; 1,235\,MPa}
\)
\(
\)

Résistance minimale au poinçonnement de la dalle sans armatures d’effort tranchant :
\(
\mathsf{ \nu_{c} } = \mathsf{ \; min\left( \nu_{c(a)}, \; \nu_{c(b)}, \; \nu_{c(c)} \right) }
\)
\(
= \mathsf{ \; min\left( 1,441\,MPa, \; 1,579\,MPa, \; 1,235\,MPa \right) }
\)
\(
= \mathsf{ \; 1,235\,MPa}
\)

\(
\mathsf{ \nu_{r} } = \mathsf{ \; \nu_{c} }
\)
\(
= \mathsf{ \; 1.235\,MPa}
\)
\(
\)

4. Comparaison action et résistance :

\(
\mathsf{\eta_{13.3.4} = \dfrac{\nu_{f}}{\nu_{r}}}
\)

\(
\mathsf{\eta = \dfrac{1.204\,MPa}{1.235\,MPa}}
\)

\(
\mathsf{\eta \approx 0.975}
\)

\(
\mathsf{\eta = 0.975 \;\leq\; 1 \quad \Rightarrow \quad \text{Preuve réussie}}
\)

L'introduction des armatures d’effort tranchant n'est pas requise.
\(
\)

Résultats

Les résultats de RFEM 6 sont présentés ci-dessous.

Exemple de vérification 9961 - Résultats détaillés de la vérification de la perforation dans RFEM 6

Les résultats de RFEM 6 sont comparés aux résultats de référence ci-dessous.

\(
\)

VE 9961 - Ratio de vérification

Évaluation

Les résultats de RFEM 6 concordent très bien avec la solution de référence.

RFEM 6 calcule des valeurs légèrement inférieures (environ 2%) pour le moment d'inertie polaire par rapport au calcul manuel. RFEM 6 calcule le moment d'inertie polaire selon ACI 421.1R.

L'approche dans ACI 421.1 est applicable aux géométries circulaires générales et est très bien adaptée pour une solution logicielle.

Contrairement à la formule analytique, applicable uniquement aux sections circulaires rectangulaires, ACI 421.1R néglige la composante d'inertie \(\mathsf{\dfrac{b\,d^{3}}{6}}\).

Le plus petit moment d'inertie polaire selon ACI 421.1R conduit à une approche conservatrice de la conception du poinçonnement.