13.11.2025

VE0101 | Analyse modale d’un porte-à-faux

Description

Un porte-à-faux en acier avec une section transversale est entièrement encastré d’un côté et libre de l’autre côté. L’bjectif de cet exemple de vérification est de déterminer les fréquences propres de la structure. Le problème est décrit par les paramètres suivants.

Matériau	Acier	Module d'élasticité	E	206000.000	MPa
		Coefficient de Poisson	ν	0.300	-
		Densité	ρ	7800.000	kg/m³
Géométrie	Porte-à-faux	Longueur	L	90.000	mm
		Largeur	w	10.000	mm
		Épaisseur	t	5.000	mm

Analyse modale d’une console

Solution analytique

Oscillations longitudinales

L'oscillation longitudinale naturelle d'une barre mince est décrite par l'équation différentielle suivante

\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}

u	Flèche dans le sens longitudinal
c	Vitesse de propagation des ondes longitudinales

Équation différentielle des oscillations longitudinales

c = \sqrt{\frac{E}{ρ}}

Vitesse de propagation des ondes longitudinales

La solution est supposée être sous la forme u(x,t) = U(x) T(t). En utilisant cette forme, l'équation différentielle peut être réécrite comme suit :

\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}} + \frac{ω^{2}}{c^{2}} U = 0

ω	Fréquence angulaire

Équation différentielle

Il s'agit de l'équation différentielle du second ordre avec la solution générale suivante.

U (x) = C_{1} \sin (\frac{ω^{2}}{c^{2}} x) + C_{2} \cos (\frac{ω^{2}}{c^{2}} x)

C₁, C₂

Constantes réelles

Solution générale de l’équation différentielle

Les constantes C₁ et C₂ peuvent être obtenues à partir des conditions aux limites. La déviation du côté fixé et la contrainte du côté libre doivent être nulles. L'équation de l'onde est déterminée en utilisant ces conditions aux limites.

C_{1} \frac{ω}{c} \cos (\frac{ω}{c} L) = 0

Équation de l'onde

L'ensemble des fréquences angulaires peut alors, évidemment, être déterminé.

ω_{k} = \frac{c}{L} (2 k - 1) \frac{π}{2}, k = 1, 2, 3, \dots

Jeu de fréquences angulaires

La première fréquence propre dans la direction longitudinale peut être calculée.

f_{x 1} = \frac{ω_{1}}{2 π} = \frac{c}{4 L} = 14275.253 H z

Première fréquence propre en direction longitudinale

Oscillations transversales

L'oscillation transversale naturelle d'une barre mince est décrite par l'équation différentielle suivante.

\frac{\partial^{4} v}{\partial x^{4}} + \frac{ρ A}{E I} \frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}} = 0

A	Surface de l’élément de section

Équation différentielle de l’équation transversale

Notez que cette équation doit être résolue pour les deux directions transversales. La solution est présumée être sous la forme v(x,t) = V(x) T(t). En utilisant cette forme, l'équation différentielle peut être réécrite comme suit :

\frac{d^{4} V}{d x^{4}} - λ^{4} V = 0

Équation différentielle

Où λ⁴ est la substitution pour l’expression suivante.

λ^{4} = \frac{ρ A ω^{2}}{E I}

Substitution

L’équation différentielle du quatrième ordre a la solution générale suivante>

V (x) = C_{1} \sinh (λ x) + C_{2} \cosh (λ x) + C_{3} \sin (λ x) + C_{4} \cos (λ x)

Solution générale d’équation différentielle

Les constantes C₁ à C₄ peuvent être obtenues à partir des conditions aux limites. La déviation et la rotation du côté fixé, et le moment de flexion M et l’effort tranchant T du côté libre doivent être nulles. L'équation d'onde pour les oscillations transversales est déterminée en utilisant les conditions aux limites.

\cosh (λ L) \cos (λ L) + 1 = 0

Équation des ondes

C'est l'équation transcendante, et sa solution peut être trouvée numériquement. Les fréquences propres peuvent alors être déterminées.

f_{i} = \frac{1}{2 π} λ_{i}^{2} \sqrt{\frac{E I}{ρ A}}, i = 1, 2, 3,

Fréquences propres transversales

Paramètres de RFEM

Modélisé dans RFEM 6.11 et RFEM 5.08
La taille globale de l'élément est l_FE= 0,001 m
La raideur au cisaillement des barres est négligée
Un modèle de matériau élastique isotrope linéaire est utilisé
Une entité de barre est utilisée

Résultats

Fréquence propre	Solution analytique	RFEM 6	Ratio	RFEM 5 - RF-DYNAM	Ratio
f_x1 [Hz]	14275.253	14275.072	1.000	14275.072	1.000
f_y1 [Hz]	1024.900	1024.778	1.000	1024.820	1.000
f_y2 [Hz]	6422.940	6418.894	0.999	6417.154	0.999
f_y3 [Hz]	17984.417	17960.053	0.999	17960.779	0.999
f_z1 [Hz]	512.450	512.413	1.000	512.495	1.000
f_z2 [Hz]	3211.470	3210.490	1.000	3211.004	1.000
f_z3 [Hz]	8992.208	8986.983	0.999	8988.420	1.000

Exemple de Vérification 000101 | 1

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