22.08.2025

VE0021 | Flexion plastique avec résistance nulle en traction

Description

Un porte-à-faux est complètement encastré à son extrémité gauche (x = 0) et soumise à u effort tranchant F et à un effort normal F_a à son extrémité droite. La résistance en traction est nulle et le comportement en compression reste élastique. Le problème est décrit par les paramètres suivant. De petites déformations sont considérées et le poids propre est négligé dans cet exemple. Déterminez la flexion maximale u_z,max.

Matériau	Élasto-plastique	Module d'élasticité	E	210000.000	MPa
		Coefficient de Poisson	ν	0.000	-
		Module de cisaillement	G	105000.000	MPa
		Résistance plastique à la traction	f_t	0.000	MPa
Géométrie	Porte-à-faux	Longueur	L	2.000	m
		Largeur	w	0.005	m
		Épaisseur	t	0.005	m
Charge		Effort tranchant	F	4.000	N
Charge		Effort normal	F_a	5000.000	N

Analyse de flexion plastique sans résistance à la traction, illustrant la distribution des contraintes et la déformation des matériaux.

Flexion plastique avec résistance en traction nulle

Solution Analytique

L’effort tranchant F, conjointement avec l’effort normal F_a, provoque l'état élasto-plastique du porte-à-faux selon le croquis suivant. La longueur de la zone élasto-plastique est décrite par le paramètre x_p. La contrainte σ_x est composée de la contrainte de flexion σ_b et de la contrainte de compression σ_c, et elle est définie selon la formule suivante :

Illustration de la flexion plastique mettant en avant la distribution des contraintes lorsque la résistance à la traction est nulle, montrant l’impact sur la structure.

Flexion plastique avec résistance en traction nulle - Distribution des contraintes

σ_{x} (x, z) = - κ (x) E (z - z_{0} (x))

Contrainte normale

où κ(x) est la courbure et le paramètre z₀(x) est défini de sorte que σ_x(x,z₀)=0. La première plastification se produit lorsque la contrainte en flexion sur la surface supérieure à l'extrémité fixe atteint la valeur de la contrainte de compression.

\frac{M (0)}{I_{y}} \frac{t}{2} = \frac{F_{a}}{A}

Égalité des contraintes de flexion et de compression

L’effort tranchant résultant est de F=2.083 N. Ainsi, le porte-à-faux sous effort tranchant F=4.000 N est dans un état élasto-plastique. Dans la zone élasto-plastique (x < x_p), l'équilibre entre les moments de flexion et les efforts normaux doit être satisfait.

M_{ep} = \int_{z_{0}}^{t / 2} - κ_{p} E (z - z_{0}) z w d z = M

Équilibre des moments fléchissants internes et externes

N_{ep} = \int_{z_{0}}^{t / 2} - κ_{p} E (z - z_{0}) w d z = - F_{a}

Équilibre des efforts normaux internes et externes

En résolvant ces équations, la courbure dans la zone élasto-plastique κ_p et le paramètre z₀ résultent comme suit.

κ_{p} (x) = \frac{8 F_{a}^{3}}{9 E w (F_{a} t + 2 M)^{2}}

Courbure résultante

z_{0} (x) = \frac{t}{2} - \frac{3}{2} \frac{F_{a} t + 2 M}{F_{a}}

Paramètre de résultat z₀

La longueur de la zone élasto-plastique x_p peut être obtenue à partir de la dernière équation sous la condition z₀(x_p)=-t/2.

x_{p} = L - \frac{t F_{a}}{6 F} \approx 958.333 m m

Longueur de la zone élastoplastique

La courbure κ_e dans la zone élastique (x > x_p) est décrite par la formule de Bernoulli-Euler :

κ_{e} = - \frac{M}{E I_{y}}

Courbure dans la zone élastique

La déformation maximale u_z,max peut enfin être calculée selon la formule suivante

u_{z, \max} = \int_{0}^{x_{p}} κ_{p} (L - x) d x + \int_{x_{p}}^{L} κ_{e} (L - x) d x \approx 1.232 m

Flèche maximale résultante

Paramètres RFEM

Modélisé dans RFEM 5.26 et RFEM 6.11
La taille de l'élément est l_FE= 0.020 m
Une analyse géométriquement linéaire est considérée
Le nombre d'incréments est de 10
La rigidité au cisaillement des éléments est négligée

Résultats

Modèle de matériau	Solution Analytique	RFEM 6		RFEM 5
Modèle de matériau	u_z,max [m]	u_z,max [m]	Ratio [-]	u_z,max [m]	Ratio [-]
Isotrope Nonlinéaire Élastique 1D	1.232	1.231	0.999	1.231	0.999
Maçonnerie Isotrope 2D		1.237	1.004	1.237	1.004
Nonlinéaire Élastique 2D/3D, Mohr - Coulomb		1.237	1.004	1.237	1.004
Nonlinéaire Élastique 2D/3D, Drucker - Prager		1.237	1.004	1.237	1.004
Plastique Isotrope 2D/3D, Mohr - Coulomb		1.237	1.004	1.237	1.004
Plastique Isotrope 2D/3D, Drucker - Prager		1.237	1.004	1.236	1.003

Exemple de vérification 0021 | 1

Références

Licence, J. (1990). Théorie de la plasticité. New York : Macmillan, 1993

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